Bijection réciproque

déduire que, pour tout    4) Dresser le tableau de variation de f   5) Donne une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 1 6) a) Montrer que f réalise une bijection de  sur un intervalle J à préciser.          En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique    b) On note  la bijection réciproque de f. Calculer  7) Tracer (D), (T) et la courbe représentative de  dans de repère .   C) Calcul d'aire : 1) calculer intégrale    2) En déduire l'aire en  de l'ensemble des

d’arrivée y est l’image (unique) de x, on le note f (x) x est un antécédent de y L’ensemble des antécédents de y est noté f −1 ({y}) plus généralement, l’ensemble des antécédents d’une partie A ⊂ F est noté f −1 (A). On l’appelle également image réciproque de A par f → → R 1 1−x 4 Chapitre 1. Fonctions, applications Fig. 1. Fonction et application Exemple 1.6. Soit la fonction f :R x → → R x2 9 est l’image de 3, R est l’ensemble de départ, et l’ensemble d’arrivée, −3 et 3 sont des antécédants

{1, ... ,n} c'est à dire l'ensemble des bijections de {1, ... ,n} vers {1, ... ,n}. Proposition 1.0.1 (Sn ,◦) est un groupe. Démonstration L'identité est une permutation de {1, ... ,n} donc Sn n'est pas vide. La composée de deux bijections est une bijection donc on a une loi interne. La composition est clairement associative. L'identité est l'élément neutre pour la composition. Enn, tout élément de Sn est inversible d'inverse sa fonction réciproque. ♦ Dénition Le groupe Sn est appelé groupe

∪ B)c = Ac ∩ B c . 5. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c . II Ensembles et fonctions • Images et images réciproques L'ensemble des applications d'un ensemble E vers un ensemble F est noté F (E,F) ou F E . Soit f de F E , A une partie de E et B une partie de F. – L’image de A par f est l'ensemble : f (A) = {y ∈ F/∃x ∈ A tel que y = f (x)} . © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. – L’image réciproque de B par f est l'ensemble : f −1 (B) = {x ∈ E/ f (x) ∈ B} . – Règles de calcul. Soit f une application

+∞[→ R vérifie pour tout x ∈]0, +∞[ : g ◦ f (x) = g f (x) = g 1 = x 1 x 1 x −1 +1 = 1− x = − g(x). 1+ x 2.2. Image directe, image réciproque Soient E, F deux ensembles. Définition 1 Soit A ⊂ E et f : E → F, l’image directe de A par f est l’ensemble f (A) = f (x) | x ∈ A y f F E f (A) A f (A) x A Définition 2 Soit B ⊂ F et f : E → F, l’image réciproque de B par f est l’ensemble f −1 (B) = x ∈ E | f (x) ∈ B f F E B y B x f −1 (B) f −1 (B) Remarque Ces notions sont plus difficiles

 Université Hassan 1er  Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales. Settat. 2ème année de Sciences Economiques Fiche 2 de T.D de Mathématiques Applications linéaires Module : Méthodes quantitatives III Année universitaire : 2013-2014 Exercice 1 I/ les applications suivantes sont-elles linéaires ? justifier: g : R2R2 , définie par g(x,y) =(2x + y , x -2) h : R2R3 , définie par h(x,y) =(x, |y|, 0) II/  Soit f l’application linéaire de R3 dans R2

Généralités sur les fonctions, cours, première S F.Gaudon 25 septembre 2011 Table des matières 1 Fonctions de référence 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Fonction carré . . . . . . Fonction inverse . . . . . Fonctions anes . . . . Fonction racine carrée . Fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fn est un endomorphisme de l’espace vectoriel (n[X], +, .). Dans cette question uniquement n = 2 et T(X) = X 2. Donner la matrice A de f2 sur la base canonique (1, X, X 2). Calculer A 2. En déduire que f2 est bijective et donner son application réciproque. En déduire la nature de f2. 21 Dans cette question uniquement n = 2 et T(X) = (X–1–i)(X+i). Donner l’image du polynôme U(X) = X 2+(1–2i)X–2i par l’application f. III Etude d’un cas particulier. Soit a un complexe fixé. Dans cette partie uniquement

qu’il y a plus de nombres réels que des nombres naturels ce qui indique pour la première fois qu’il existe des ensembles infinis de différentes tailles. Cantor est aussi le premier à réaliser l’importance de la bijection de laquelle il s’est servi pour sa théorie des ensembles. Une bijection est une fonction bijective pour laquelle tout élément de son ensemble d’arrivée a un seul antécédent, c’est-à-dire qu’il est l’image d’un seul élément de son ensemble de départ. Bref, dans deux ensembles, chaque

sym´trisables pour le produit : l’inverse de la suite e 1 . de terme g´n´ral un est alors la suite de terme g´n´ral e e e e un – Dans (F(E), ◦), une application est inversible si et seulement si elle est bijective. Son inverse est alors sa bijection r´ciproque. La notation f −1 est donc justifi´e. e e I.9 El´ments simplifiables e D´finition e Soit E un ensemble muni d’une loi ∗. Soit x un ´l´ment de E. ee On dit qu’un ´l´ment x de E est simplifiable (ou encore r´gulier ) si : ee