Bijection réciproque

1 Probl` me e [D’apr` s ENS option TA 1993] e ` NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et

( ) ( ) { ( ) ( ) { { { ( ) { Donc } On peut utiliser le théorème du rang, mais je vais faire plus théorique (pour rire), est un endomorphisme dont le noyau est réduit au vecteur nul est une injection, c’est donc une bijection, donc est surjective et ( ) . Allez à : Exercice 24 Correction exercice 25. 1. a) Les coordonnées du vecteur ( ) dans la base ( Donc ( ) b) ( ) c) ( )( ) ) et ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) Donc sont :

• f est bijective quand elle est ` la fois injective et surjective. a Soit E un ensemble. L’identit´ sur E est l’application IdE de E dans E d´finie pour tout e e x ∈ E par f (x) = x. Th´or`me 1 (caract´risation des bijections) Soit f une application de E dans F . f est e e e bijection si et seulement si il existe une application g de F dans E telle que f ◦ g = IdF et g ◦ f = IdE . On appelle alors g la r´ciproque de f et on la note f −1 . e 1.2 D´nombrements ´l´mentaires e ee Soit E un ensemble

tels que c ≠ 0 et a 2 + bc ≠ 0 . On considère la fonction f : ℝ \ {a c } → ℝ \ {a c } définie par f (x ) = ax + b . cx −a Justifier que f est bien définie. Calculer f f , en déduire que f est une permutation dont on déterminera l’application réciproque. n 2 si n est pair    Exercice 23 Soit f : ℕ → ℤ définie par f (n ) =  n + 1 . − sinon  2   Montrer que f est bien définie et bijective. Exercice 24 Soit a) g b) g c) g d) g f : E → F et g : F → G . Etablir les implications suivantes

naturellement un espace vectoriel r´el. Soit E un espace vectoriel complexe. Notons EC son dual et ER le e ∗ dual de E consid´r´ comme espace vectoriel r´el. Pour ∈ EC , notons Re( ) l’application x → Re( (x)). ee e ∗ ∗ 1. D´montrer que → Re( ) est une bijection de EC sur ER . e ∗ ∗ e ` 2. En particulier, ER s’identifie a l’espace vectoriel complexe EC . D´crire directement la structure ∗ ee d’espace vectoriel complexe sur ER , i.e. la multiplication d’un ´l´ment de ER par un nombre complexe. Exercice

CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES 1 Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien 1. Définition 1 -- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet x donc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ . La fonction inverse x La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur 1 -- qui s’annule en 1. ]0 ; + ∞ [ , de la fonction x x 2. Conséquences • La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante

une fonction f : A  R x  f(x), connaissant f(x), peut-on retrouver x ? C'est la fonction réciproque qui nous le permettra. x f(x) f  f Pour que la réciproque d'une fonction soit une fonction, il faut que la fonction initiale soit injective (c'est à dire qu'un réel ne peut être image de plusieurs points). En effet, si ce n'était pas le cas, un point aurait plusieurs images par la fonction réciproque comme le montre le schéma ci-contre, et il ne s’agirait plus alors d’une fonction. f Le graphe

Chapitre I. G´n´ralit´s sur les espaces vectoriels. e e e Marc de Crisenoy Convention: dans tout le cours, K d´signe un corps commutatif. (En pratique K = Q, R ou C). e § G´n´ralit´s. e e e D´f. 1. On appelle K-espace vectoriel un triplet (E, +, .) ayant les propri´t´s suivantes: e ee (E,+) est un groupe ab´lien e . est une application de K × E dans E (l’image de (λ, x) par cette application est not´e λ.x). e ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x + y) = λ.x + λ.y ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x ∀α, β ∈ K

Z  ZZ  Exo7  Z  Z Z Ann´e 2009 e Exercices de math´matiques e Applications lin´aires e 1 D´finition e Exercice 1. D´terminer si les applications fi suivantes (de Ei dans Fi ) sont e lin´aires : e f1 : (x, y) ∈ R2 → (2x + y, x − y) ∈ R2 , f2 : (x, y, z) ∈ R3 → (xy, x, y) ∈ R3 f3 : (x, y, z) ∈ R3 → (2x + y + z, y − z, x + y) ∈ R3 f4 : P ∈ R[X] → P ∈ R[X], f5 : P ∈ R3 [X] → P ∈ R3 [X] f6 : P ∈ R3 [X] → (P (−1), P (0), P (1)) ∈ R3 , f7 : P ∈ R[X] → P −(X−2)P ∈ R[X]. Exercice 2. Soit

CCP PC Math´matiques 1 e Probl`me 1 e 1) a) F ⊂ M, F contient la matrice nulle, est stable par combinaison lin´aire , donc F est un sous espace vectoriel e de M b) I et F sont des ´l´ments de F et ne sont pas proportionnels donc (I, F ) est une famille libre de F ee ax + bz −bx + cz ax − by az − bt x z et M F = , on obtient F M = Posons M = ay + bt −by + ct bx + cy bz + ct y t y = −z c−a comme b = 0 , M ∈ F ´quivaut a e ` , donc F est un R-espace vectoriel de dimension 2 x= t+ z b (I, F ) est donc