Borne milliaire

Cette première partie est consacrée à l'inventaire des milliaires du Bas-Empire, retrouvés dans l'antique province de Numidie. Chaque borne milliaire a fait l'objet d'une fiche signalétique, subdivisée en plusieurs rubriques. Nous avons essayé de complèter ces rubriques dans la mesure où les renseignements fournis par les différentes éditions répertoriées nous le permettaient. 1. Un numéro d'inventaire a été attribué à chaque milliaire édité. Nous signalons ensuite : 2. Brièvement les références

plusieurs kilomètres. Un peu plus loin, la route départementale et la Voie Domitienne se confondent jusqu’à Salses; au nord-est de la forteresse, c’est le rail qui reprend son trajet. À Caves, une des plus anciennes écritures latine gravée sur une borne milliaire romaines a été retrouvé, un témoignage exceptionnel exposé au musée de Narbonne (ainsi qu’une copie au Musée des Corbières, à Sigean). Les sites remarquables à Narbonne La ville de Narbonne a traversé tous les âges depuis plus de deux millénaires

origine, correspondant au nombre 0, et une unité de longueur, correspondant au nombre 1. I) Les neuf types d’intervalles Les neuf types d’intervalles sont : 1) Les intervalles fermés bornés Soit et deux nombres réels. On appelle intervalle fermé borné de à , et on note ; , le sous-ensemble de contenant tous les nombres réels compris entre et  ; les nombres et sont eux-mêmes éléments de ; . ; Remarques. , Les nombres et sont appelés bornes de l’intervalle  ; . Si , on adopte la convention :  ;

cinq grands rectangles blancs :   S5 = 1 5 1 5 2 + 2 5 2 + Comme les rectangles grisés sont entièrement contenus dans le domaine D qui, lui-même, est entièrement contenu dans les grands rectangles blancs, on a bien : borne supérieure (pour a) On a donc : ). Tranche Hauteur des rectangles hachurés en Hauteur des rectangles hachurés en 0; 0 1 n 1 n 1 2 ; n n 1 n 2 2 2 n 2 sn = 1 n 1 n 2 + 2 n 2 + ... + k n 2 +

u+p  u,v  Lemme2 : Propriété de la borne inférieure ∀ v∈V d v≥δ s,v  . Cette propriété est invariante par rapport au nombre de relaxation réalisé sur les Arcs de G Si d v=δ s,v  Elle reste inchangée indépendamment du nombre de relaxations . Preuve : induction Preuve du lemme1 t Supposons ∃ plus court chemin de s à v,. P(=(s,u)+p(u,v)>=(s,v) (inégalité triangulaire) Si jamais d(v)= (s,v) elle reste inchangée (borne Inf) Corollaire S’il existe un sommet

SUITES PLAN I : Corps des réels 1) Propriétés 2) Borne supérieure et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires

1) Vérifier brièvement que ∞ est une norme sur E. 2) Soit f l’endomorphisme de E défini par ∀P ∈ E, f(P) = XP. Démontrer que l’application f est continue sur (E, déterminer |||f|||. no 2 (**) : On munit E = ℓ∞ (C) le C-espace vectoriel des suites bornées de la norme u ∞ ∞ ∞ définie par : ∀P ∈ E, P ∞ = Sup P(n) (0) , n∈N . n! ∞) et = sup |un |. n∈N On considère les endomorphismes ∆ et C de ℓ (C) définis par : ∀u ∈ E, ∆(u) = v où ∀n ∈ N, vn = un+1 − un et ∀u ∈ E, C(u) = w

2 20. x→+∞ lim x Correction ln(x2 + 1) 1 + ex−3 [000623] Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 3 Indication pour l’exercice 1 1. Raisonner par l’absurde. 2. Montrer que la limite est la borne supérieure de l’ensemble des valeurs atteintes f (R). Indication pour l’exercice 2 Utiliser l’expression conjuguée. Indication pour l’exercice 3 Réponses : 1. La limite à droite vaut +2, la limite à gauche −2 donc il n’y a pas de limite. 2. −∞

pose (- A) = (- x /x E A). Montrer que : 1") Si A est majorée, (-A) est minorée et on a : inf (- A) = - sup A. 2") Si A est minorée, (-A) est majorée et on a : sup (- A) = - inf A. Solution 1") Soit A une partie non vide, majorée de W. Soit a sa borne supérieure. Donc, par définition on a : i ) V x ~ A xla. ii) V E E O 3 XOE A a - ~ < x oS a . Il est clair que (-A) est une partie non vide et minoree par a' = - a puisque d'après i) : V y E (- A) - y E A donc -y I a. c'est à dire - a I y. D'autre

? * Fonction Ncd  Lower : borne inf ,Upper : borne sup ,∈ℝ + ,∈ℝ Probabilité des événements  X  x  et  X  x  Dans le menu STAT, .F5 : DIST puis .F1 : NORM Sélectionner .F2 : Ncd et EXE . Ex : Data : Variable, Lower : –1E99, Uper : 28, σ : 5, µ : 20 puis EXE N.B. : –1E99 et 1E99 représentent respectivement moins et plus l'infini. Si vous souhaitez afficher, par exemple, la zone située à droite de la borne inférieure (inf), spécifiez sup=1E99 pour la borne supérieure. Ex : Data : Variable