Développement décimal

que cette personne est prise dans un cercle ; car n’importe quel ordre ne fait sens que dans certaines positions. (Watson.) 1097 – Une variante de la diagonale de Cantor : soit N = F(K, n) la forme de la loi du développement décimal de fractions. N est la nième décimale du Kième développement. La règle de la diagonale est : N = F(n, n) =Def F’(n). Afin de prouver que F’(n) ne peut être une des règles F(k, n), supposons que c’est la 100ième. Alors la règle de formation de F’(1) dit F(1, 1) de F’(2)

de mathématiques, impliquent π, qui est une des constantes les plus importantes des mathématiques5. Le nombre π est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine6. La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de π, et la compréhension

JC, les Egyptiens avaient trouvé comme valeur (16/9)² ce qui vaut environ 3,16. Il vient ensuite le développement des techniques de calculs grâce à l’analyse que l’on connait maintenant (dérivée, sommes de séries, intégrales …). Newton arriva à trouver 16 décimales de π en 1665, puis Machin en trouva 100 en 1706. Au niveau contemporain, les frères Chudnovsky trouvèrent 4 milliards de décimales en 1994 et Kanada et Taura en trouvaient 206 milliards en 1999 (en environ 33 heures de calculs).

9 1-4 : Basique 4 2 4-29 : Y fait chô 9 1-5 : Basique 5 2 5. Suites adjacentes 9 1-6 : Basique 6 2 5-30 : Barycentre (c) 1-7 : Basique 7 2 5-31 : Aire 10 1-8 : Basique 8 2 5-32 : Approximation décimale 11 1-9 : Salaires 3 5-33 : zeta(2) 11 1-10 : Suites arithmétiques - 1 3 1-11 : Suites arithmétiques - 2 3 6-34 : Suite linéaire - 1 11 1-12 : Suites arithmétiques - 3 3 6-35 : Suite linéaire - 2 12

seront aussi étudiés les suites adjacentes et le théorème des suites adjacentes. Certains exercices feront le lien entre les suites adjacentes et la méthode de dichotomie. L’objectif de cette partie est de compléter les connaissances sur l’écriture décimale d’un nombre réel et de savoir exploiter les suites adjacentes pour établir des encadrements, obtenir des valeurs approchées des solutions d’une équation. Des exercices aborderont l’utilisation des suites dans divers domaines concrets. Corrigés

.............................................. 116 VI1. Calcul pratique des primitives .............................. .... .p.pp . . 145 VEI . Intégrales généralisées ....................................... 159 ~ . . . . . IX . Développement limité........................................ 172 X. Courbes planes paramétrées ............................. 187 201 XI . Courbes en polaires .......................................... XII . Equations différentielles ..................

graphique, par les deux courbes Cf et Cg et les droites d'équations x = 0 et x = 1. Colorier la surface A, puis calculer à l'aide des intégrales I1 et I2 l'aire de A, exprimée en cm2 . Donner la valeur exacte de l'aire de A, puis sa valeur décimale arrondie à 10-2 près

876×10 4,758×100 0,318×1000 38×10 3÷100 29÷10 3,8÷1000 35÷1000 2,5÷10 2,9×100= 290 45×10 = 450 4,34×1000=4340 0,3×100= 30 0,003×10=0,03 35÷10= 3,5 183÷100 =1,83 78÷1000=0,078 2,8÷100=0,028 3,9÷1000=0,0039 3) 4) Ecriture décimale, écriture fractionnaire. Donner l’écriture correspondante. 0,5 0,12 0,08 0,039 2,5 0,45 0,009 0,01 3,5 2,75 0,03 0,129 0,007 10,5 3,92 0,038 0,12 2,5 17,8 3,95 =0,003 =0,18 =2,5 = 5,38 =0

carrée de X Entier ou Réel Même type que X SQR (2) = 4 SQR (2.5) = 6.25 RACINECARRE (X) SQRT (X) Retourne la racine carrée de X si (X > 0) Entier ou Réel Même type que X SQRT (4) = 2 SQRT (6.25) = 2.5 FRAC (X) FRAC (X) Retourne la partie décimale de X Réel Réel FARC (2.65) = 0.65 FRAC (1.1) = 0.1 INT (X) INT (X) Retourne la partie entière de X Réel Réel INT (6.8) = 6.0 SIN (X) SIN (X) Retourne le sinus de X (X en Radians) Réel Réel SIN (PI/2) = 1.0 SIN (PI) = 0.0 COS (X)

Exercice 6 (2 points) 1) Combien de chiffres après la virgule comporte chacune des écritures décimales des nombres suivants : A = 20 ; B = 2-1 ; C = 2-2 ; D = 2-3 ; E = 2-4 A = 1 : après la virgule B = 0,5 : après la virgule C = 0,25 : après la virgule D = 0,125 : après la virgule E = 0,0625 : après la virgule 2) Que pouvez-vous déduire pour 2-4532? Il semble que ce nombre est une écriture décimale avec 4532 chiffres après la virgule. Remarque : on ne peut pas être certain car 5 exemples