Cercle trigonométrique

c’ du point C’ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. 1 2. Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D’ d’affixe d’ = 2 . 3. Pour tout nombre complexe z différent de -1, on note p le module de z + 1 et p’ le module de z’+ i. a. Démontrer que pour tout complexe z différent de -1, on a pp’ = 5 . b. Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alors M’ = f(M) appartient à un cercle (Γ’), dont on précisera le centre et le rayon. z - 2i

Soutien TS fiche 09 : complexes 2 I) Argument et forme trigonométrique 1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres : a) z = − 2 − i 2 b) z = 3 i c) z = −2 d) z = −2 + 2i 3 e) z = − 3 + 3 i 2 2 2. Construire à la règle et au compas les points A, B, C, D définis par : z A = 3 et arg z A = π ; z B = 2 et arg z B = π ; zC = 4 et arg zC = − π ; Re( z D ) = −4 et arg z D = 3π 4 3 6 4 II) Forme exponentielle 1. Mettre sous forme exponentielle : m = 3 +i 3 n = 6 −i 2 p=i

(Ai , αi )1≤i≤n un système de n points pondérés de masse m = n i=1 1. Si m = 0, alors pour tout réel k, l’ensemble de niveau k de l’application g(M ) = αi . n i=1 αi M A2i est : (a) dans le plan : soit le vide, soit le singleton {G}, soit un cercle de centre G. (b) dans l’espace : soit vide, soit le point G, soit la sphère de centre G. n − → −−→ 2. Si m = 0, on pose V = αi M Ai . i=1 − → (a) si V = 0, l’ensemble de niveau k de g est soit vide soit E. − → (b) si V = 0, l’ensemble de niveau k

[pic] ; [pic] ; [pic]. [pic]. [pic]. [pic] [pic] alors [pic] et [pic]. Donc M est un point du cercle trigonométrique. Théorème : Pour tout nombre complexe z non nul dont l’image M a pour coordonnées cartésiennes (x ; y) et pour coordonnées polaires (r ; [pic]), on a : [pic] Forme algébrique : [pic] Forme trigonométrique : [pic] Exemple : Soit [pic]. Trouvons une forme trigonométrique de z. • Calcul du module de z : [pic]. • Alors [pic]. On a [pic]. Théorème : Preuve 2

− 1) 2 + y 2 ( x − 1) 2 + y 2 b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z telle que Z soit réel. c. Déterminer l’ensemble F des points M d’affixe z telle que Re(Z) soit négatif ou nul. 3. a. Écrire le nombre complexe (1− i) sous forme trigonométrique. (1 − i) ( z − i) b. Soit M un point d’affixe z, distinct de A et de B. Montrer que : ∈ IR * si et seulement s’il existe un entier k tel z −1 que (MA , MB) = c. d. π + k π (k ∈ Z) 4 π Déterminer l’ensemble des points M vérifiant (MA , MB) =

Trigonométrie 1 - Périodicité 2 - Rappels de trigonométrie, formules d’addition, de transformation de sommes en produits et de produits en sommes, arc double et arc moitié. 3 - Rappels sur les fonctions trigonométriques, dérivée, sens de variation, graphe. 4 - Définition des fonctions trigonométriques réciproques Arc sin, Arc cos et Arc tan, étude des variations, calcul des dérivées, graphes. 5. Exemples d’utilisation de la dérivée pour établir : sin(x) x et Arc tan(x) + Arc tan(1/x) = π/2 par deux

un affichage positif. D. Pour x positif on obtient un affichage négatif. Dans les questions 41 à 46 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J), dans lequel on a tracé le cercle trigonométrique. 41. A quel(s) réel peut être associé le point J. A. B. C. D. avec . 42. Le point M du cercle trigonométrique est associé au réel . Il peut aussi être associé à : A. B. C. D. Page 8 sur 11 | Lycée Saint-Charles, Athis-Mons Révisions obligatoires – Mathématiques – Seconde à première 2011

pts 59 1. 53. Inversion, Am. du Sud 2004 - 5 points 61 1. 54. Carré, Antilles 2004 62 1. 55. Linéarisation (hors prog. TS depuis 1995) 63 1. 56. Transformation et représentation paramétrique d’un cercle 63 1. 57. Autour du cercle 65 1. 58. Transformations et carré, Liban 2003 66 1. 59. Rotations et cercles 67 1. 60. Transformation non linéaire 68 1. 61. Fonc. de Joukowski, Am. du Sud 2007 - 5 pts 70 1. 1. Qcm 1 Cet exercice comporte quatre affirmations repérées par les lettres a, b, c et d. Vous devez

l’équation de la médiatrice du segment [AB] où A (3; 1) et B (2; 4). 9 3.2 Équation d’un cercle Par dé…nition un cercle de centre A (x0 ; y0 ) et de rayon r que l’on notera C(A;r) = fM 2 P; AM = rg donc M 2 C(A;r) , AM 2 = (x 2 x0 ) + (y 2 y0 ) = r 2 Exercices : 1. Déterminer une équation de C(A;2) où A (1; 3) : 2. Quelle est la nature de C = M (x; y) 2 P = x2 + y 2 6x + 2y + 6 = 0 Théorème : Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des point M de P tels que ! ! M A:M B = 0 Ce résultat, n’est

La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et μέτρον / métron, « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente. ------------------------------------------------- Présentation[modifier] ------------------------------------------------- Histoire de la trigonométrie[modifier] ------------------------------------------------- Premières