Cercle unité

uniquement sur 2iπZ. 457 458 23.1.2 Le nombre π Le lien avec le nombre π des géomètres Théorème 23.6 La fonction t → eit réalise une surjection de R sur le cercle unité du plan euclidien. Le cercle unité du plan euclidien peut être paramétré par : t → (cos (t) , sin (t)) Théorème 23.7 Le périmètre du cercle unité du plan euclidien vaut 2π. 23.2 La fonction arc-tangente comme primitive de 1 1 + x2 On propose ici une autre présentation du nombre π. On désigne par f la

l’expression suivante : [pic] [pic] [pic] d’où le produit [pic] [pic] [pic] 3 Représentation géométrique Nous pouvons utiliser les valeurs des lignes trigonométrique des arcs remarquables, tout en plaçant directement les points sur le cercle unité (ensemble des points dont l'affixe est de module 1). 1 Arcs simples [pic] [pic] [pic] 2 Symétries par rapport à Ox [pic] [pic] 3 Exercice : Placer sur le croquis les arcs et angles correspondant aux nombres : [pic] -----------------------

le changement de variable z = eTp se trouve à l’intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon unité. D’où la condition fondamentale de stabilité d’un système échantillonné: Un système à temps discret est stable si et seulement tous les pôles de sa fonction transfert G(z) = N(z)/D(z), racines de l’équation D(z) = 0, ont tous un module inférieur à 1, c’est-à-dire se trouvent tous à l’intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon unité du plan z. II- Application aux systèmes asservis. La figure

compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit calcul... Une autre façon de procéder est de remarquer que, dans l’ouvert C, la fonction z → z 2 + 3z admet une primitive, égale à F

Soient a, b ∈ C. Montrer [ 02356 ] [correction] |a + b| + |a − b| Exercice 6 [ 03458 ] [correction] Soient z0 ∈ C et r > 0 tels que |z0 | = r. On note C le cercle dans C de centre z0 et de rayon r. a) Pour z ∈ C, montrer z ∈ C ⇔ |z| − z0 z − z0 z + |z0 | = r2 ¯ ¯ b) En déduire que l’image de C par l’application f : z → 1/z est un cercle dont on précisera centre et rayon en fonction de z0 et r. 2 2 |a| + |b| et préciser les cas d’égalité. Exercice 14 Mines-Ponts MP [ 02646 ] [correction]

Théorème 2 : On a sur ] − π ; π ], sin x > 0 cos x > 0 π 2 sin x > 0 0 O cos x > 0 ⇔ ⇔ x ∈]0 ; π [ x∈ − π π ; 2 2 π −π 2 2 Fonctions sinus et cosinus 2.1 Définition Définition 2 : À tout réel x, on associe un point unique M du cercle unité ou cercle trigonométrique de centre O, dont les coordonnées sont : M (cos x ; sin x ) sin x x O cos x M Définition 3 : On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives : x → sin x Remarque : ∀ x ∈ R et 1 et x → cos x −1 sin

Ch 6 Nombres complexes Correction des exercices type Bac Exercice 5 Bac S – Amérique du Sud – Nov. 2005 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; [pic] ;[pic] ) . On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point M’ d’affixe z’ =[pic], où [pic]désigne le nombre complexe conjugué de z . 1) Déterminer l’ensemble des points invariants par f . Un point M d’affixe z est invariant par f si, et

positif noté Nous avons Lorsque (Im(z)=0) est la valeur absolue de z. de valeur Propriétés: Les nombres complexes Page 2 Notation Soit , on note par le nombre complexe cos Un peu de trigo.. On considère un repere orthonormé R(o , i , j) et le cercle trignonometrique: On pose : Cos Sin Tan ○ Fonction sinus. Definie sur R, peridiodique de periode 2π, sin(-x)=-sinx (-> Impaire) Sin(2π-x)= sin x, sin (π +x)=-sin x Les nombres complexes Page 3 ○ Fonction cosinus Definie sur R, cos (x+2π)=cos

Que doit-il calculer pour déterminer le prix des plinthes ? 3. Propose plusieurs situations faisant intervenir l'aire ou le périmètre. Activité 2 : Comparaisons 1. Quadrillage hexagonal a. Détermine l'aire de chacune des figures. Tu prendras pour unité d'aire. b. Détermine le périmètre de chaque figure, l'unité de longueur sera le côté d'un hexagone. u 2. Quadrillage triangulaire Mêmes questions qu'au 1. . L'unité d'aire est et l'unité de longueur le côté d'un triangle. u 3. Observe les résultats

orthonormal (O ;) (unité graphique : 1 cm), on note A le point de coordonnées A(3 ; 6) et (C) la courbe d’équation : x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0. Le but de l’exercice est de construire les tangentes à (C) passant par A. 1°) Démontrer que (C) est un cercle dont on déterminera les coordonnées du centre  et le rayon R. (Faire une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice) 2°) Justifier que le point A se trouve à l’extérieur du cercle (C). 3°) Soit (C’) le cercle de diamètre [A ] où