Courbe de Bézier

technicien supérieur Cours de mathématiques Chapitre 16 Courbes de Bézier Les courbes de Bézier sont utilisées dans de très nombreuses applications : • commandes de machines numériques ; • programmes de dessin vectoriel (segments courbes) ; • polices True-type ; • morphing : déformation d’images. Le concept a été développé initialement dans le cadre de la construction automobile en France à partir des années 60, par des ingénieurs (Bézier chez Renault, de Casteljau chez Citroën) qui cherchaient

précise si c'est un maillage courbe (Curve), une charpente (Lattice), une lumière (Lamp), etc.. Les objets peuvent être liés aussi bien à des courbes d'animation ( matériaux. Le maillage C'est le bloc du maillage des triangles et des quadrilatères. Il c faces et normales. Il peut avoir un bloc clef-image (keyframe) pou par rapport au temps (morphing). Et il peut être lié aux matériaux La courbe C'est le bloc responsable du text (Text), des courbes de bézier (Be et surfaces NURBS 3D. Il

Calcul scientifique Approximation polynômiale uniforme-Polynômes de Bernstein [pic] On considère les suites suivantes : [pic] Question 1 : Montrons que [pic] [pic] On reconnaît la formule du binôme de Newton, [pic] Dans notre cas, [pic] d’où : [pic] On veut montrer que, [pic] [pic] [pic] On pose[pic]. [pic] On vérifie sur Scilab pour le cas particulier où : x=0,1 et n=3

Rapport de laboratoire 4 : Courbes paramétriques |Cours |GTI-410 | |Session | Hiver-11 | |Groupe |01 | |Numéro de votre équipe

numérique (MOCN). III. Rappels et résultats théoriques (étude mathématique de la surface de Bézier) : Le but de cette modélisation CAO est de définir une pièce contenant une surface de Bézier par le modèle CAO de géométrie constructive (Constructive Solid Geometry ou CSG). La pièce doit être représentée sur un brut d’aluminium parallélépipédique de dimensions . Remarques sur la surface de Bézier : Phase 1 : Point X Z A 23.3 0 B 25.3 -1 C 25.3 -22 D 23.3

42 7. Fonction logarithme et exponentielle …………………………………...……56 8. Fonctions circulaires (sin, cos, tan, cercle trigonométrique) ……….……….60 9. Courbes paramétrées …………………………………………………..…...…65 10. Calcul vectoriel (produit scalaire, vectoriel, mixte) ………………….……....71 11. Barycentre d’un ensemble de points ………………………………….....……78 12. Courbes de Bézier (3 points, 4 points) …………………………………..…….83 13. Droites remarquables, symétrie , translation , rotation. ……………………. 90 14. Points, droites et plans

remplacée par ⎛ ⎞ ⎜ i⎟ n ⎝ ⎠ ⎛ n⎞ n! qui veut dire la même chose et se prononce “i parmi n”. Donc ⎜ ⎟ = . Maintenant ⎝ i ⎠ i!( n − i )! voici les polynômes de Bézier: B0,3 ( t ) = (1 − t ) = 1 − 3t + 3t 2 − t 3 3 2 B1,3 ( t ) = 3t (1 − t ) = 3t 1 − 2t + t 2 = 3t − 6t 2 + 3t 3 2 2 3 B0,3 ( t ) = t 3 Pour la courbe 1: ⎧ x (t ) = 4 B1,3 (t ) + 4 B2,3 (t ) ⎪ ⎨ ⎪ y (t ) = 3B0,3 (t ) + 3B1,3 ( t ) + 6B2, 3 (t ) + 6B3,3 ( t ) ⎩ ⎧ x (t ) = 4 3t − 6t 2 +3t 3 + 4 3t 2 −3t 3 ⎪ ⎨ ⎪ y (t )

................................................................. 31 29 - Appeler les Fonctions de dessin......................................................................................................... 32 30 - Activer la Barre d'objets « Bézier » ( Édition de points).................................................................... 34 Rémy Petit – Mai 2005 1 - DÉCALER LES PARAGRAPHES Utiliser les curseurs présents sur la règle que l'on peut combiner avec les outils d'alignement

seulement. Conçu par l’ingénieur français Michel Virlogeux et dessiné par l’architecte anglais Lord Norman Foster, il s’inscrit parfaitement dans un paysage naturel grandiose et intact: un tablier métallique au dessin très fin décrivant une légère courbe, supporté par des haubans, lui prodigue des allures de voilier, le tout reposant sur 7 piles, très élancées. Pour construire cet ouvrage, il a fallu environ 127 000 mètres cubes de béton, 19 000 tonnes d'acier pour le béton armé et 5000 tonnes d'acier

..................... 2 Fonction exponentielle........................................................................................ 5 Fonction logarithme népérien ............................................................................. 9 Courbes paramétrées......................................................................................... 12 Module “Calcul vectoriel” ..................................................................................................... 16 Vecteurs