Dimension d'un espace vectoriel

. 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires 1.4 Systèmes homogènes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

eskuhartzearekin 2 i Introduction Ce cours d’algèbre linéaire se compose de 9 Chapitres. Dans le premier Chapitre on rappelle la définition et on donne sans démonstration les résultats classiques sur les espaces vectoriels et les applications linéaires (théorème de base incomplète, théorème de la dimension, etc. . .), avec en annexe une discussion de la notion d’application injective, surjective, bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Au Chapitre

. . . 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires 1.4 Systèmes homogènes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

. . . . . . . . . . . . . Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . A - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B - Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . C - Applications linéaires et représentations matricielles Probabilités sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variables aléatoires

r´serve des conditions e e e d´finies dans la circulaire n◦ 99-186 du 16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n est un entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈ N, un+1 = un ◦ u. On note Kn [X] la K-alg`bre des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, Mn (K) la K-alg`bre e o e e e a e des matrices carr´es de taille n ` coefficients dans K de matrice unit´ In et GLn (K) le

c Christophe Bertault - MPSI Espaces euclidiens Dans ce chapitre, on travaille seulement avec le corps de base R. Les lettres n, p, q . . . désignent des entiers naturels non nuls. Produit scalaire, norme et distance 1 1.1 Produit scalaire Définition (Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien) • Soit E un K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive, i.e. toute application (·|·) : E × E −→ R : ¬

affine 1.1 Espaces affines 1.2 Sous-espaces affines 1.3 Repères 1.4 Applications affines 1.5 Le groupe affine 1.6 Convexité 2. Dualité et algèbre bilinéaire 2.1 Dualité 2.2 Formes quadratiques 2.3 Espaces vectoriels euclidiens 2.3.1 Sous-espaces, symétries, projections 2.3.2 Le groupe orthogonal 2.3.3 Orientations 2.3.4 Le groupe orthogonal d'un plan vectoriel euclidien 2.3.5 Angles de vecteurs 2.3.6 Angles de droites 2.3.7 Le groupe des isométries vectorielles de l'espace 2.4 Espaces affines euclidiens

trois K-espaces vectoriels, u : E → F et v : F → G deux applications linéaires. Montrer que 1. ker (v ◦ u) = u−1 (ker v). 2. ker u ⊂ ker (v ◦ u). 3. Im (v ◦ u) ⊂ Im v . Exercice 5 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et ϕ une application linéaire de E dans lui-même telle que ϕn = 0 et ϕn−1 ̸= 0. Soit x ∈ E tel que ϕn−1 (x) ̸= 0. Montrer que la famille (x, ϕ(x), ϕ2 (x), . . . , ϕn−1 (x)) est une base de E . Exercice 6 Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E , de dimension nie n

différentielles non linéaires 68 1re année et 2e année Suites numériques 1re année 34 37 23 Séries numériques 2e année 70 Suites particulières 1re année V Table des matières Partie 2 – Analyse dans Rn 24 25 26 27 28 29 30 Espaces vectoriels normés 76 2e année 31 32 33 34 35 36 Intégrales curvilignes 2e année 98 102 104 107 112 Continuité 2e année 80 83 Suites de fonctions 2e année Ensembles particuliers 2e année Séries de fonctions 2e année Calcul

dans une base . . . . . . 17.1.2 Matrice d’une appn linéaire dans un couple de bases . . . . 17.1.3 Coordonnées de l’image d’un vecteur par une appn linéaire 17.1.4 Propriétés opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.1 Matrice de passage d’une base à une autre . . . . . . . . . . 17.2.2 Effet d’un changement de base(s) . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.3 Matrices équivalentes et matrices semblables . . . . . . . .