Dimension d'un espace vectoriel

Algèbre linéaire 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . 1.1.4 Combinaisons linéaires de vecteurs 1.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Familles libres . . . . . . . . . . . 1.2.2 Familles génératrices . . . . . . . . 1.2.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . 1.4 Sous-espaces supplémentaires

(math´matiques et physique, math´matiques et informatique, e e math´matiques et sciences industrielles. . .). e La coop´ration des enseignants d’une mˆme classe ou d’une mˆme discipline et, plus largement, celle de e e e l’ensemble des enseignants d’un cursus donn´, y contribue de fa¸on efficace, notamment dans le cadre des e c travaux d’initiative personnelle encadr´s. e Il importe aussi que le contenu culturel des math´matiques ne soit pas sacrifi´ au profit de la seule technicit´. e e e En particulier

CHAPITRE II ESPACES VECTORIELS REELS 1- LES ESPACES VECTORIELS REELS • On appelle espace vectoriel réel, tout ensemble E muni de deux opérations somme interne + et produit externe par un réel qui vérifient toutes les propriétés de la somme et du produit externe énoncées dans le chapitre précédent. On le note (E, +, ⋅). Notation et théorème démontré en TD : 1) l’ensemble (Rn,+, ⋅) de tous les vecteurs à n lignes et une colonne muni est un espace vectoriel réel. 2) l’ensemble (Mm,n ,+, ⋅) de toutes

certaine surface (ce parc naturel couvre un espace considérable) ou un certain volume (ce placard occupe un grand espace). Sommaire [masquer] 1 Étymologie 2 Géométrie 3 Physique 4 Mathématiques 5 Théorie de la connaissance 6 Terminologie de Bergson Étymologie[modifier | modifier le code] Le mot vient du latin spatium, qui a deux significations : elle désigne l'arène, les champs de courses mais aussi une durée. En ancien et moyen français, espace signifiait plutôt un laps de temps, une durée

CAPES de Mathématiques Résumé de cours d’algèbre linéaire 2001/2002 Université de Cergy Pontoise Valérie Nachef Alexandre Mizrahi Espaces vectoriels - Applications linéaires Définition √ Soit K un sous-corps de C (Par exemple Q, R, mais aussi Q( 2)). On appelle espace vectoriel sur K un ensemble E muni d’une loi interne notée + et d’une loi externe notée . avec les propriétés suivantes : 1. (E, +) est un groupe abélien 2. La loi externe . vérifie (a) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E (b) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K

difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace de E) ⇔ (il existe i ∈ 1, n / j=i Fj ⊂ Fi ). no 3 (** I) : E = Kn où K est un

( Exercice 7. Soit l’application définie pour tout ( ) ( {( ) Soit ( ) et sa dimension. 1. Donner une base de 2. Donner une base (La plus simple possible) de ( ) 3. A-t-on ( ) ? 4. Montrer que est un sous-espace vectoriel de ( ) 5. A-t-on ? Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. Soit ( )). ( ) par : ) } ( ) et sa dimension. , en donner une base et sa dimension. un endomorphisme de dont l'image de la base canonique ( ) ( ) ( ) 1. Pour tout

. . . . e e e e 3.2.1 Espaces vectoriels, applications lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Formes bilin´aires sym´triques et formes quadratiques e e ´ 3.3 REDUCTION DES ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . 3.3.1 Sous-espaces stables, polynˆmes d’un endomorphisme o 3.3.2 R´duction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Espaces euclidiens, g´om´trie euclidienne, espaces hermitiens e e 3.4.1 Espaces pr´hilbertiens r´els . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4.2 Espaces euclidiens . . . . . .

sur les espaces vectoriels et les applications linéaires ainsi que sur le calcul matriciel. Pré-reqcuis recommandé Calcul dans Notions élémentaires sur les ensembles Mode d’évaluation Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Cours magistraux (26h) Travaux dirigés (14h) Support du cours Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés Contenu du cours Chapitre 1 : Espaces vectoriels réels I- Structure d’espace vectoriel réel II- Sous espaces vectoriels

solutions d’un syst`me lin´aire. . e e 2 Espaces vectoriels sur R ou C. 2.1 Rappel : les vecteurs du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Espaces vectoriels sur R ou C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Intersection de sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . 2.5 Somme d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels. . . . . . 2.6 Somme directe de deux sous-espaces vectoriels. . . . . . . . 2.7 Sous-espace vectoriel engendr´