Espace probabilisé

5/On choisit , parmi les personnes qui désirent suivre un stage , trois personnes au hasard . On assimile ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu’une seule personne ait choisi la magie . Définition  Soit [pic] un espace probabilisé fini. A un événement de [pic] On appelle probabilité conditionnelle de l’événement B lorsque l’événement A est réalisé ou bien sachant que A est réalisé . Le réel positif [pic] . Propriétés  [pic][pic] [pic]Si B et C sont incompatibles

application ? de ?(Ω) dans [0,1] telle que : ?(Ω) = 1 2. Pour tous ? et ? de ?(Ω) tels que ? ∩ ? = ∅ on a : ?(? ∪ ?) = ?(?) + ?(?). 1. ⇒ Le triplet (Ω, ?(Ω), ?) s’appelle espace probabilisé fini. Professeur : Benjeddou Saber (saberbjd2003@yahoo.fr) 1/7 Probabilités Propriétés : Soit (Ω, ?(Ω), ?) un espace probabilisé fini. ? et ? sont deux évènements. 1. La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires de Ω est égale à 1. 3. ? est la somme des probabilités des évènements

et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système: 1 Une famille (Xt )t∈T de v.a définies sur (Ω, F, P) (donné) telles que: Xt : (Ω, F, P) −→ (E , B) w −→ Xt (w ) = X (t, w ). (E , B) espace mesurable, appelé espace des "états". 2 On regarde, pour w ∈ Ω fixé, l’application X (., w ) : T −→ (E , B) t −→ X (t, w ) = Xt (w ). ϕ : (Ω, F, P) −→

conditionnelle, indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l’ensemble d’épreuves des fini). Applications à des calculs de probabilité. Pré-requis : – Opérations sur les ensembles, cardinaux ; – Espaces probabilisés ; – Calcul de probabilités. On se place dans un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). Introduction : On se donne le tableau suivant représentant la proportion de garçons (G) et de filles (F) étudiant l’anglais (A) ou l’espagnol (E) en 1re langue. G F A E 48 22 53 27 101 49 70 80

TS1 Contrôle du jeudi 17 janvier 2013 (50 minutes) V. (1 point) Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (, P) qui suit la loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,42. Pour quelle valeur de l’entier naturel k la probabilité P (X = k) est-elle maximale ? Répondre sans justifier ni faire de phrase. Prénom et nom : .…………………………………………………. Note : …… /20 VI. (5 points) ………………………. I. (2 points) Déterminer les dérivées des fonctions f et g définies respectivement

Cours de Probabilités Jean-Yves DAUXOIS Septembre 2011 Table des matières 1 Introduction au calcul des probabilités 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire . . . . . . . . 1.1.1 Un exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Mesures et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

     P(A) =  p(A / B) × p(B) + p(A / B) × p(B)  ( formule de probabilité  totale )  2)   p(B / A) = p(A / B)p(B)   p(A) 3) A et B sont deux événements indépendants de  Ω  si p( A ∩ B ) = p(A).p(B)  Variable aléatoire   ( Ω , P   ( Ω ),p) est un espace probabilisé fini  Soit X une variable aléatoire définie sur  Ω   On note X( Ω ) L’ensemble image de  Ω par X   { } X( Ω ) =   x1 , x 2 , x 3 ,..., x p −1 , x p  ;  p ∈ ∗   On appelle loi de probabilité de X l’application  p X : Ω → [ 0, 1] x → p(X=x

vérification d'une hypothèse (ou test) • modélisation et prévision statistique A. ROGOZAN – Ph. LERAY 6 UV Statistiques Cours n°1 Rappels de Probabilité • Expérience aléatoire : expérience dont le résultat ne peut pas être prévu a priori • Espace fondamental • Événement élémentaire fondamental : ensemble des résultats possibles : élément de l'espace • Événement aléatoire (⊂ Ω) pouvant être VRAI ou FAUX suivant le résultat de l'expérience aléatoire A. ROGOZAN – Ph. LERAY 7 UV Statistiques

langage « courant ». Certains termes et concepts mathématiques de base, en nombre très restreint et dont la vertu est de clarifier les définitions et d’éviter les ambiguïtés, sont néanmoins utilisés. En particulier, on se réfère souvent à l’espace probabilisé (Ω, A, P), notion qui se comprend facilement : Ω est l’ensemble de tous les résultats possibles, A est l’ensemble de tous les événements auxquels on pourra attribuer une probabilité, et P est cette mesure de probabilité, dont les valeurs sont comprises

(respectivement "Face") au k ème lancer ». On note Tn le nombre de lancers effectués, X n le nombre de "Pile" obtenus et enfin Yn le nombre de "Face" obtenus. On admet que Tn , X n et Yn sont des variables aléatoires toutes les trois définies sur un espace probabilisé ( Ω , A, P) que l'on ne cherchera pas à préciser. 1) Loi de Tn . a) Pour tout k de 1, n − 1 , déterminer, en distinguant le cas k = 1 , la probabilité P (Tn = k ) . b) Déterminer P (Tn = n) . c) Vérifier que n ∑ P(T n = k) = 1. k =1 d)