Limite

Donc pour t 2 [k; k + 1] f (t) f (k) donc Sn (x) f (t)dt et par passage à la limite 1 S(x) Z +1 f (t)dt 1 Les limites existent : Rn 1 – pour (Sn ) par convergence de la série : R n+1 – pour 1 f (t)dt car on a une suite croissante (f positive) majorée par S(x) p x dt t(1+tx2 ) = R n2 1 2xdu 1+u2 x2 = 2 [arctan(ux)]1 = 2 arctan(n2 x) Z +1 n2 2 arctan(x) . Donc en passant à la limite 2 arctan(x) 1 p x dt = t (1 + tx2 ) On a donc pour 1=2 : S(x) Z

abscisse. Autrement dit, pour tout x ≥ x1 , on a f (x) ≥ ax + b. Ceci prouve que lim+∞ f = +∞. Exercice 11 - Fonctions convexes admettant une asymptote - L1/Math Sup 1. Supposons qu’il existe un point x0 tel que f (x0 ) < 0. Par définition de la limite de f en +∞, appliquée à ε = |f (x0 )|/2, on peut trouver x1 > x0 tel que f (x1 ) > f (x0 ). D’après l’inégalité des pentes pour les fonctions convexes, on a, pour tout x ≥ x1 : f (x1 ) − f (x0 ) f (x) − f (x1 ) f (x1 ) − f (x0 ) ≤ =⇒ f (x) ≥ (x −

U est continue en 0 (question I.2.3) et que x ! dénominateur non nul ) , +1 . donc N 1 X n=1 1 (n + x) 2 est continues en N (somme de frantions rationnelles à N , alors que 1 tend vers (N + x)2 1 (n + x) 2 + U (x + N ) admet une limite …nie en x = 1 (N + x)2 U (x) 5. 1. D’ après le calcul de dérivée au 3.2. on a U (x) = 0 x! N 2 1 < 0 pour x > (n + x)3 n=1 1; +1[ +1 X 1 . donc : U décroît strictementsur ] 2. soit 1 . La fonction (t + x)2 segment [n; n + 1]

soit : et donc la suite (un) est croissante. II. Limite finie ou infinie d'une suite 1) Limite infinie Exemple : La suite (un) définie sur ℕ par a pour limite . En effet, les termes de la suite deviennent aussi grand que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite si tout intervalle, a réel, contient tous les termes

valeurs de 2 ∗ ∗ ∗ temps t k −1 et t k , est voisin de v ( t k ) ∆t k = ( t k ) ∆t k , où t k ∈ [t k −1, t k ] . Le déplacement total sera donc voisin de la somme de tous ces déplacements. Le déplacement réel s’obtient par un passage à la limite. 10 10 0 n 0 Déplacement = lim ∑ v ( t ) ∆ t k = ∫ v ( t ) dt = ∫ t 2 dt n →∞ ∆ t k →0 k =1 ∗ k 10  d  t3  2   =t  dt  3  0 103 03 1000 = − = m 3 3 3 t3 = 3 © ERPI -6- ⇒  t3 est une

K ( K = R ou K = C ) , unicité de la limite ; toute suite convergente est bornées , toute suite convergente vers un réel non nul est du signe de sa limite APCR ; suite extraite : définition , sous-suite d’une suite convergente et théorème fondamental ”la suite U = u n n converge vers L SSSI toutes les sous-suites convergent vers L SSSI les deux sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers L ” ; suites de limite nulle , théorèmes sur opérations et limites ; suites réelles divergentes vers ±∞

cours : Nombres complexes 4/4 Limites Asymptotes à une courbe Les formes indéterminées On dit qu'il y a forme indéterminée lorsqu'on ne peut pas donner de résultat général à partir des tableaux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de cas trouver la limite en effectuant les manipulations suivantes. Opérations sur les limites Limite d'une somme Si f ou (un) a pour limite l l l +∞ -∞ Si g ou (vn) a pour limite l' +∞ -∞ +∞ -∞ -∞ -∞ pas

1ère BT S DOM OT IQU E Limites Lundi 20 octobre 2008 Devoir surveillé n 2 ˚ EXERCICE no 1 Déterminer les limites suivantes : 1. lim x→+∞ 2. lim x→2− −3x2 + 4x + 1 3. x+3 x2 − 4 4. lim+ lim x→−∞ x→0 x2 − 5x4 + 3x − 1 x4 − x2 − 1 x2 − x + 1 + ln x 2 5. 6. lim x→+∞ ln x x3 + x x2 e lim ex + e−x + x→−∞ √ 2 − 3x EXERCICE no 2 → − Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; − ; →), on donne la courbe représentative

majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ; donc f est born´e comme somme d’applications born´es puisque e e e e f = (f − fn ) + fn . Enfin on a dit que si ε > 0 est donn´, il existe un rang n0 tel que e 1) ∀x ∈ [0, 1], ∀p ∈ N, ∀n ≥ n0 , |fn(x) − fn+p (x)| ≤ ε Faisons encore p → +∞: par passage a la limite d’in´galit´s larges il vient pour tout x ∈ [0, 1] |f n(x)−f(x) ≤ ` e e ε ie N∞ (f − fn ) ≤ ε

domaine de déf d’une fonction f(x) se lit en effectuant une projection orthogonal du graphe de f(x) sur l’axe des x. 6. Limite de fonction A. Définitions : Limite en un réel : Lim x→a f(x) =b, quand x prend des valeurs se rapprochant de a alors les images se rapproche de b Limite en l’∞ : Lim x→a f(x) =∞, quand x prend des valeurs se rapprochant de a alors les images finissent par dépasser n’importe quel nombre réel aussi grand que l’on veut 7. Asymptotes