Limite

impact sur la mobilité de la population. L’étendue du territoire est un facteur de puissance, la facette maritime d’un état est un impact maritime aussi. Le territoire terrestre est limité cette limitation s’opère par des frontières, le tracé des frontières est une opération très délicate puisque c’est tracer la limite des pouvoirs de l’Etat, l’Etat veut étendre le plus possible ses frontière car il veut accroître son pouvoir. Généralement ces frontières sont tracées selon des contraintes géographiques

une erreur de 10 années-lumière ! Quant au mathématicien, il se bornera à indiquer prudemment que plus on est proche de a, plus l’erreur est négligeable. Il faut donc s’attendre à ce que la définition rigoureuse de la dérivée utilise la notion de limite. Et c’est bien ce qui va arriver ! B Sur le tour de France . S G 100 m D 10 km P U A 400 m 10 km La courbe ci-dessus représente une étape du Tour de France. Même un non initié comprend qu’il y a une légère montée au départ suivie

distinguer deux cas. 1er Cas :z0 est un pôle simple. a−1 + a0 + a1 (z − z0 ) + · · · Soit alors f (z) = z − z0 (z − z0 ) f (z) = a−1 + (z − z0 )a0 + a1 (z − z0 )2 + · · · = Res( f, zo) + (z − z0 )a0 + a1 (z − z0 )2 + · · · et par passage à la limite, on obtient : Res( f, zo ) = lim (z − z0 ) f (z). (4.1) z−→z0 Si f (z) se présente sous la forme, f (z) = P(z) Q(z) où Q(z0 ) = 0 et Q′(z0 ) 0, (4.2) alors : Res( f, z0) = P(z0 ) · Q′ (z0 ) (4.3) Remarque

naturellement considérée comme une application qui généralise la notion d’application polynôme, tout en étant déterminée par une suite infinie de coefficients, (ap )0≤p : p=+∞ ap z p p=0 1≤p≤n ceci sans tenir compte des difficultés liées au passage à la limite et qui ont fait l’objet des précédents cours. En effet, la somme d’une série entière vérifie seulement : p=+∞ p=n ap z = lim Pn (z) p=0 n→+∞ p avec Pn (z) = p=0 ap z p Si on a pu obtenir autant de résultats justes sans se soucier

créés à chaque étape, on peut démontrer également, par un simple raisonnement, par récurrence, que la surface de la courbe engendrée après n constructions est égale à où A0 représente l'aire du triangle équilatéral initial. Ainsi, par passage à la limite, le flocon de von Koch délimite une surface finie.  Le triangle de Sierpinski Cet ensemble fractal utilise comme figure de départ un triangle équilatéral. En utilisant les milieux de ses côtés, on définit ainsi un nouveau triangle central que

n. d) En déduire la limite de (u n ). un − 3 . un − 1 3 − vn . 1 − vn E XERCICE N°2 1. Restitution Organisée de Connaissances (5 points) a) Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle [a ; + ∞[. Compléter la phrase suivante : « Dire que f admet une limite finie en +∞ signifie . . . » b) Démontrer le théorème des gendarmes : « Si f , g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle [a ; +∞[ et un nombre réel tels que les fonctions g et h aient pour limite commune quand x tend

un=2n3n-n3n=vn-n3n. On en conclut que pour tout n, un≤vn. La suite v majore donc bien la suite u. En déduire la limite de la suite u. La suite u est minorée par la suite nulle, et majorée par la suite v. Or la limite de la suite v est 0 car c’est une suite géométrique dont la raison est comprise strictement entre -1 et 1. La suite u est donc encadrée par deux suites ayant pour limite 0. On en conclut, d’après le théorème d’encadrement, que limn→+∞un=0 Problème Soit (un) la suite définie

l'hyperbole d'équation y=1x admet pour asymptote l'axe des ordonnées d'équation x=0. Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne ouverte a et &Cscr;f sa courbe représentative. Si la limite de f est infinie quand x tend vers a (x < a ou x > a selon l'intervalle), alors la droite d'équation x=a est asymptote verticale à &Cscr;f. Illustration graphique La figure ci-dessous représente graphiquement les différentes situations où la

IN par vn = exp(un) Prouver que si (un) est arithmétique alors vn est géométrique B. Résoudre sur [pic] l’équation suivante : [pic]. Exercice 3 (6 points). f est la fonction définie sur IR par f(x) = (x² ( 3x ( 3)ex a. Etudier les limites de f en (( et +(. b. Etudier les variations de f. c. Combien l’équation f(x) = 1 a-t-elle de solutions ? Exercice 4 (4.5 points). Montrer que pour tout réel x positif, ex−1 ≥ x. PARTIE DS Exercice 1 (8 points) On considère la fonction

Chapitre 2 Limite d’une suite 1.  Page d’ouverture • Énigme ✱ L’épaisseur d’une feuille est de 0,01 cm. Si on plie la feuille une fois, l’épaisseur est alors 2 ¥ 0,01 cm. Si on plie encore une fois, l’épaisseur est égale à : 22 ¥ 0,01 cm = 22 ¥ 0,01 cm et ainsi de suite… ième pliage, l’épaisseur est donc égale à 2n ¥ 0,01 cm. Au n Prenons pour distance moyenne entre la Terre et la Lune d = 384 400 km = 3 844 ¥ 107 cm. On cherche la première valeur de n pour laquelle 0,01 ¥ 2n