Loi normale

Lycée Langevin-Wallon, académie de Créteil TABLE DES MATIÈRES 10.3 Variables aléatoires et lois de probabilité . 10.3.1 Variables aléatoires discrètes . . . . 10.3.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Variables aléatoires continues . . . 10.3.5 Loi normale (loi de Laplace-Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et tous les autres facteurs explicatifs non pris en compte dans le modèle. L’analyse de régression repose sur un certain nombre de postulats : La variable explicative X est mesurée sans erreur. Les erreurs aléatoires ε sont distribuées selon une loi normale de moyenne nulle et de variance constante inconnue. Les erreurs aléatoires ε sont non corrélées avec la variable explicative. Les erreurs aléatoires ε sont non corrélées entre elles. - 1.2.2. Ajustement du modèle. Le diagramme de dispersion

probabilité de (1-q) Soit, pour une position de valeur de marché Vt : ~ ~ P ∆Vt > VaRq = 1 − q ou P ∆Vt ≤ VaRq = q Si les variations de valeur de la position suivent une loi normale : ~ ~  ∆Vt − π VaRq − E ∆Vt  P =q ~ ≤ ~ σ ∆Vt σ ∆Vt     [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ~ ~ VaRq ∆Vt − E ∆Vt Le quantile de la loi normale centrée réduite est noté zq, soit ici : = zq ~ σ ∆Vt ~ ~ ~ La Value at Risk peut donc s'écrire : VaRq ∆Vt = E ∆Vt + z q × σ ∆Vt ( ) ( ) ( ) [2] ( ) ( ) ( )

Exercice 2 (5 points) : On d´sire savoir si, chez les individus qui consomment e r´guli`rement de l’huile d’olive, le risque cardio-vasculaire est diminu´. On utilise pour e e e cela un indice (calcul´ a partir du dosage en d-dim`res), qui suit une loi normale. e ` e Plus cet indice est faible, moins le patient pr´sente de risque cardio-vasculaire. Sur un e ´chantillon de 7 individus consommant de l’huile d’arachide, on a observ´ une moyenne e e 1 de x7 = −0.67, avec une variance empirique de s2 = 7 7

indépendantes, l’incertitude se calcule à l’aide de l’écart-type σ n -1 = ∑ (g i −g i n -1 ) 2 d’ordre n–1 (appelé encore écart type de l’échantillon). On prend alors 1 ∑ gi . n i Si la distribution des mesures suit une loi gaussienne, alors les observations montrent que σn–1 est un bon estimateur de l’incertitude pour un très grand nombre de mesures, mais on pratique très rarement 30 000 mesures !!! comme valeur de g, la moyenne des mesures : g = • Type B : Il

extrait de la base de sondage, en utilisant une base de tirage TAILLE DE L'ECHANTILLON: n = taille de l'échantillon attendu.t = niveau de confiance déduit du taux de confiance (traditionnellement 1,96 pour un taux de confiance de 95%) - loi normale centrée réduite.p = proportion estimative de la population présentant la caractéristique étudiée dans l'étude. Lorsque cette proportion est ignorée, une pré-étude peut être réalisée ou sinon p = 0,5 sera retenue.e = marge d'erreur (traditionnellement

maîtrise» ou «cartes de pilotage». On distingue les cartes de contrôle «aux mesures» des cartes de contrôle «aux attributs». Elles ne font pas intervenir les mêmes lois statistiques : dans le premier cas, en général la loi normale (continue), dans le second cas la loi binomiale ou la loi de Poisson (discontinues). Pour un caractère mesurable (par exemple, une cote de pièce mécanique), on construit une carte de contrôle de la tendance centrale (souvent définie comme la moyenne d'un nombre N élevé de pièces

36 3,40 3,44 3,48 3,52 3,56 3,60 3,64 3,68 3 2 5 12 39 24 10 3 1 1 Effectif 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Classes page 4 sur 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Graphique L’allure du graphique suit une distribution normale (loi statistique de Laplace Gauss) 39 24 12 5 10 3 1 1 3 2 Lycée P. Duez Cambrai Cours N°11 : version professeur Le suivi de la qualité Tpco11.doc Révisé le 03 mai 05 par M. RICHARD La carte de contrôle Composition Les démarches

d’une série de mesures. Il faut aussi noter que les statistiques sont au programme de mathématiques de 1S .Ce programme aborde l’écart type, la variance, la courbe de Gauss (loi binomiale) et l’intervalle ou niveau de confiance . 3 .2 Principe de cette méthode : On suppose que la série de mesures suit une loi gaussienne. La mesure â d’une grandeur a de valeur exacte A comporte généralement une erreur E= â − A, que celle-ci soit due aux appareils, au manipulateur ou à la méthode employée

FTa P (Bt ≥ a) = = = = = P (Ta P (Ta P (Ta I(s P (Ta 2 ∞ t, Bt ≥ a) (par continuit´ du brownien) e t, Bt − BTa + BTa ≥ a) t, Wt−Ta ≥ 0) (car BTa = a) t)P (Wt−s t) 0)dPT a (s) (car P (x, y) = P (x|y)P (y)) Ainsi, en utilisant que Bt est une loi normale de N (0, t), on a : 2 P (Ta t) = ( tΠ )1/2 a e 2t dx t Par le changement de variable x = a( s )1/2 , on trouve : x2 P (Ta t) = a 0 t (2Πs3 )−1/2 e−a 2 /2s ds 2 On en conclut que la densité de Ta est f (s) = a(2Πs3 )−1/2