Série harmonique

2 *** Soit (un )n∈N une suite réelle. Montrer que si la suite (un )n∈N converge au sens de C ÉSARO et est monotone, alors la suite (un )n∈N converge. Correction [005221] Exercice 3 **IT Pour n entier naturel non nul, on pose Hn = ∑nk=1 1k (série harmonique). 1. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , ln(n + 1) < Hn < 1 + ln(n) et en déduire limn→+∞ Hn . 2. Pour n entier naturel non nul, on pose un = Hn − ln(n) et vn = Hn − ln(n + 1). Montrer que les suites (un ) et (vn ) convergent vers un réel γ ∈ 12 , 1 (γ est

Développement asymptotique de la série harmonique Références : Oraux XENS Analyse 1, Serge Francinou Théo. Posons, pour tout n ∈ N∗, Hn = n∑ k=1 1 k / Alors, il existe γ ∈ R∗+ tel que Hn = ln(n) + γ + 1 2n − 1 12n2 + o Å 1 n2 ã . γ est appelé la constante d’Euler. De plus, si on pose kn = min{k ∈ N, Hk ≥ n} alors lim n→∞ kn+1 kn = e. Démonstration. • Posons, pour tout n ∈ N∗, un = Hn − ln(n) et vn = un − 1 n . Montrons que ces suites sont adjacentes. La différence un − vn = 1 n est positive et converge

valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est la ne somme partielle (ou la somme partielle d’indice n, ou encore d’ordre n) de la série an . ® Remarques • Ainsi, une série n’est autre qu’une suite dont le terme général est la somme des premiers termes d’une autre suite. • Toute suite numérique peut être interprétée comme une série. En effet, si (an )

est appelée série de terme général un . (Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série. Notation Une série de terme général un est notée 1.2 un Convergence   ou  n≥0   un . Définition 1.2.1 Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn )n est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite (Sn )n est appelée somme de la série et on note : +∞ lim Sn = n→+∞ un n=0 Une série qui n’est pas

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :   ∞ n=0 qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons

On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le n terme général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée l’ensemble ; an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche     x∈R: ∆=   ∞ n=0     . an xn converge   C’est le domaine de convergence de la série entière. Exemple 1. ∞ xn . n! n=0 xn et appliquons le critère de D’Alembert ; Posons fn (x) = n! fn+1 (x) x lim = 0. La série entière est

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆= x∈R:   ∞ n=0     n an x converge   qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 ∞ xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons

développent principalement la construction harmonique accompagnant la mélodie dans un cadre métrique classique (division binaire ou ternaire répétée) qui convient parfaitement à leur élaboration discursive, les compositeurs du XXe siècle, dans leur immense majorité, tant sous l’impulsion du répertoire populaire (Bartok, Nancarrow, Kurtag …) que sous l’essor des recherches des nouveaux paramétrages de la musique (rythmes, timbres, intensités, spectres harmoniques, spatialisation, M.A.O., etc.) élaborent

Variation . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Courbes représentatives . . . . . . 3.5 Compléments . . . . . . . . . . . . 4 Application aux ondes progressives 4.1 Onde sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PAUL M ILAN 1 T ERMINALE S 1 RAPPELS 1 Rappels 1.1 Mesure principale Définition 1 : On appelle mesure principale d’un angle α, la mesure x qui se trouve dans l’intervalle

différents. Ce sont les lèvres, la langue le voile du palais qui en transformant la forme du conduit vocal changent le bourdonnement en un langage perceptible. Le son au niveau des cordes vocales est un son complexe qui est d'autant plus riche en harmoniques aiguës que le tonus des muscles qui font vibrer les cordes vocales est plus grand. L'intensité du son laryngien dépend essentiellement de la pression d'air. Plus celle ci est grande, plus le mouvement est ample et le son est plus intense. Le larynx