Variable aléatoire

méthode 22 2.2.3 Lissage exponentiel de Holt-Winters 22 2.3 Prévision par la méthode de Box & Jenkins .25 2.3.1 Concepts des séries chronologiques 25 2.3.1.1 Processus stochastique 25 2.3.1.2 Processus aléatoires stationnaires 25 2.3.1.2.1 Caractéristiques d'un processus aléatoire stationnaires ..26 2.3.1.3 Les opérateurs de Box & Jenkins 28 2.3.1.3.1 Les effets des opérateurs de Box & Jenkins 29 2.3.2 Les processus ARMA 30 2.3.2.1 Le théorème de décomposition de Wald 30 2.3

6€, le prix moyen d’un roman est de 10€, le prix moyen d’un magazine est de 6 €. En tenant compte de ces prix moyens et des choix probables des étudiants (voir partie A), il désire calculer la cotisation à demander par étudiant. Soit P la variable aléatoire représentant le coût d’achat des livres par étudiant. 1. Quelles sont les valeurs possibles de P ?      si l’étudiant choisit seulement une bande dessinée, le coût d’achat sera : P = 9,6 si l’étudiant choisit seulement un roman, le coût

Avec une probabilité supérieure ou égale à 0,85, les cadeaux « grands gagnants » en stock suffiront pour récompenser les « grands gagnants » s’ils sont au nombre de 7 pour un jour donné. 0,5 1 3. 1 Partie C : loi normale Y − 40 . La variable aléatoire T suit la loi normale n(0 ; 1). 6 Après avoir centré et réduit, on obtient : P(− 1 ≤ T ≤ 1) = 2Π (1) − 1 ≈ 2 × 0,8413 − 1 ≈ 0,68 . T= Remarque : certains candidats peuvent connaître le résultat (l’intervalle est centré sur la moyenne et son

E3 (X = 2) E2 E3 (X = 2) 0, 95 E3 (X = 1) 0, 8 0, 1 E2 0, 05 E3 (X = 2) 0, 9 E1 0, 95 0, 05 E3 (X = 1) E2 E3 (X = 1) 0, 95 1. Représentons un arbre : (voir ci-dessus) E3 (X = 0) X est la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. a. X peut prendre les valeurs 0, 1 , 2 ou 3. b. (X = 2) = (E1 ∩ E2 ∩ E3 ) ∪ (E1 ∩ E2 ∩ E3 ) ∪ (E1 ∩ E2 ∩ E3 ). C’est une réunion d’événements incompatibles, donc

est un questionnaire à choix multiples. 4 points 1. Supposons qu’il voie 5 clients et chaque rencontre est considérée comme une expérience identique, indépendante, pour laquelle la probabilité de vendre le produit est p = 0, 2. Si X est la variable aléatoire donnant le nombre de produits vendus, X suit la loi binomiale B(5 ; p). Alors p(X = 2) = 52 p 2 (1 − p)3 = 10 × 0, 22 × 0, 83 = 0,2048. (réponse d)). 2. Notons G l’évènement « l’élève choisi est un garçon »et P l’évènement « l’élève choisi a

Père(y) = y/2 e b a b e c d f c 1 n d f 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ xk = 1 − x x ∞ 1 1 = Θ(log n) k k =1 √ n n n! = 2πn 1+Θ e k =0 n ∑ kxk = (1 − x)2 ∑ FilsG(y) = y × 2 FilsD(y) = y × 2 + 1 Rappels de probabilités Espérance d’une variable aléatoire X : C’est sa valeur attendue, ou moyenne. E[ X ] = ∑ Pr{ X = x } Définitions diverses La complexité d’un problème est celle de l’algox 2 ] = E[ X 2 ] − E2 [ X ] rithme le plus efficace pour le résoudre. Variance : Var[ X ] = E[( X − E[ X

E3 E3 E2 E2 E1 E3 E3 E3 E3 E3 1. On appelle : E1 l’événement « le joueur perd la première partie » ; E2 l’événement « le joueur perd la deuxième partie » ; E3 l’événement « le joueur perd la troisième partie ». On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. a. On joue 3 parties donc X peut prendre pour valeurs 0, 1, 2, 3. E2 b. P ( X = 2 ) = P ( E1 ∩ E2 ∩ E3 ) + P ( E1 ∩ E2

est donc : p(D∩R)+ p(D∩R) = 0, 06×0, 02+0, 94×0, 05 = 0,0012+0,0470 = 0,0482. a. En suivant la deuxième branche : p(D ∩ R) = 0, 06 × 0, 02 = 0,0012. p D ∩ R + p D ∩ R = 0, 06 × 0, 02 + 0, 94 × 0, 95 = 0,0012 + 0,8930 = 0,8942. 4. a. La variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n = 4 et de probabilité p = 0,8942. La probabilité que G = 120−50 = 70 La probabilité que G = 60 − 50 = 10 4 × 0,89423 × (1 − 0,8942) ≈ 0,3026 ; 1 est égale à ≈ 1 − (0,6394 + 0,3026) ≈ 0,058. est égale à

Objectif : Savoir pour quelles valeurs de f on pourra considérer qu'elle soit suffisamment éloignée de p pour rejeter l'hypothèse. p d'un caractère Echantillon Hypothèse : n Fréquence f du caractère 2) Intervalle de fluctuation à 95% • La variable aléatoire X compte le nombre d'individus de l'échantillon qui présentent le caractère étudié. Elle suit donc une loi binomiale de paramètres n et p. X prend donc des valeurs entières de 0 à n. • On partage l'intervalle [0 ; n] en trois intervalles : [0

informatique sont limités à la bonne compréhension des notions vues. Il est toutefois conseillé de revisiter le cours de mathématiques générales et plus particulièrement les parties suivantes : Partie 1 : Introduction à la logique. Partie 2 : Fonction à une variable : représentation graphique, propriétés, transformations. Partie 5 : Introduction aux probabilités. Partie 7 : Introduction au calcul intégral. MÉTHODOLOGIE ET SUPPORTS Type d'enseignement : cours ex cathedra. Les notes prises au cours et la résolution