Variable aléatoire

cette boule est blanche, il perd 2 F; * Si cette boule est verte, il ne perd rien, ne gagne rien. Les tirages sont équiprobables et deux tirages successifs sont indépendants. Au début de la partie, le joueur possède 12 F, soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur, la somme que le joueur possède à l’issue de la partie (un tirage ou deux tirages selon le cas). a) Déteminer les valeurs prises par X. b) Déterminer la loi de probabilité de X . c) Montrer que l’espérance mathématique

A et C 4 Exercice 4 – Soit la fonction f définie par :  1  si x  a ; b  f x   b  a  0 si x  a ; b   où x   , a   , b   et a  b Quand f est une densité de probabilité, on note X1 la variable aléatoire associée à f. On note X2 la variable aléatoire égale à la transformation linéaire suivante de X1 : X2 = 3 X1 +1. 1- Parmi les propositions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s) ? A) f x  est toujours une densité de probabilité. B) Si a = 0

c’est à dire que la durée de vie soit supérieur à 120 mois. D’où on obtient le calcul suivant : P(X 120) ⇡ 0, 037. La probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit supérieur à 10 ans est d’environ 0, 037. Partie B 1. (a) Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant pris l’extension et qui l’ont fait jouer. D’après l’énoncé chaque client ayant souscrit à cette garantie a une probabilité de 0, 115 de faire jouer cette garantie. X suit alors une loi binomiale de paramètre

de la deuxième pièce b pour le i-ème lancer. On a de plus P (ai = face) = P (bi = face). Le résultat du lancer de a n’influence pas celui de b et aucun lancer n’est influencé par les lancers précédents, ni suivants. On considère le couple de variables aléatoire (X, Y ) défini par : 0 si (a1 , b1 ) = (face, face) X =  1 si (a1 , b1 ) = (pile, face) ou (face, pile) et  2 si (a1 , b1 ) = (pile, pile)    1. Déterminer les loi de X et Y . Calculer les espérances E(X) et E(Y ), ainsi que les variances

choix multiple comportant une plage d'entrée du code informatique se verront attribuer une note positive uniquement en présence de codes R valides. Chaque question est indépendante des autres questions. L'ordre des questions et des réponses est aléatoire. Les documents disponibles sur votre compte informatique sont autorisés, ainsi que les documents papier du cours et l'aide en ligne de R. L'utilisation de tout service de messagerie ou de mail est interdite et, en cas d'utilisation avérée, se verra

Séance 1 : Dénombrement Semaine du 11 au 15 octobre 2010 Séance 2 : Probabilités simples Semaine du 18 au 22 octobre 2010 Séance 3 : Probabilités conditionnelles Semaine du 25 au 29 octobre 2010 Séance 4 : Variables aléatoires Semaine du 1er au 5 novembre 2010 Séance 5 : Loi binomiale Semaine du 8 au 12 novembre 2010 et interrogation Difficulté des exercices : * Très simple ** Simple *** Moyenne **** Avancée Séance 1 : Dénombrement

probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. Partie B On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les

[pic] Celles présentant uniquement un défaut de couleur sont soldées au prix de 25€ chacune ; [pic] Enfin les pièces correctes sont vendues au prix de 30€ chacune. Sachant que le coût de fabrication d’une pièce est de 10 €, on considère la variable aléatoire [pic]égale au bénéfice fait par l’entreprise sur chaque pièce, exprimé en euros. 5. L’entreprise peut espérer un bénéfice moyen, exprimé en euros, de : a 18,68 b 18,54

(D)P(N) = 7/50 (E) PN(V)=4/7 Concours ensea 2003 Dans une production de résistances on note p ∈]0,1[ la proportion de résistances défectueuses. On tire au hasard, indépendamment les unes des autres, n résistances. Les résultats sont les variables aléatoires indépendantes Xk pour 1≤k ≤n , où Xk vaut 1 si le k-ième tirage est défectueux et 0 s'il ne l'est pas. On a donc P({Xk =1})= p et P({Xk = 0})=q =1−p . On note Sn = X1 +...+ Xn le nombre total de résistances défectueuses du tirage. Question

≈ 0,05. 3 2. La partie grise correspond à la probabilité de l’événe- 3. Espérance et variance des lois uniformes et exponentielles 1 ment p(2 < X), graphiquement cette probabilité est . 2 Activité. Une simulation A. 1. L’espérance de la variable aléatoire Application 2 1. La formule entrée et étendue à 2 000 cellules réparties E(X) = np = 10 × 0,3 = 3. L’écart type est σ(X) = 9np(1 – p) = 010 × 0,3 × 0,7 ≈ 1,5. 2. La moyenne qui va apparaître est proche de l’espérance soit environ 3. Ce que