Variable aléatoire

On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10−3

est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ? 4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? b. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ? 5. Le coût des soins

Distribution d’échantillonnage d’une moyenne Soit une population dans laquelle on étudie une certaine variable X Soit X la distribution d’échantillonnage des moyennes (c’est-à-dire la variable aléatoire qui associe à chaque échantillons de taille n extrait d’une population de taille N, de moyenne  et d’écart-type , la moyenne de cet échantillon) Cas 1 L’ECHANTILLON EST GRAND (n  30)  la distribution de la variable X dans la population-mère EST normale OU NON Dans ce cas : 1. la distribution dec suit une

lim u(x) = 0 alors : x→+∞ • lim ln[u(x)] = +∞ x→+∞ • lim ln[u(x)] = −∞ x→+∞ • lim ln[u(x)] = 0 x→+∞ 3. Voici la loi de probabilité d’une variable aléatoire X : xi pi −10 0,2 0 0,3 10 0,5 • l’espérance mathématique de cette variable est 3 • l’espérance mathématique de cette variable est −3 • l’espérance mathématique de cette variable est 0 4. Pour tout a > 0, ln 3a − ln a est égale à : • ln 3 1 • ln(2a) • 2ln a 5. 0 e2x+1 dx est égale à : • 2e3 − 2e e3 − e 2 • e3

Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie novembre 2003 Exercice 1 Commun tous les candidats 4 points 1. L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale est np. Ici 10 E(S n ) = np = 10 donc p = . Si S n est la variable aléatoire totalisant le nombre n 10 n−k 10 k 1− pour 0 d’accidents, on a P(S n = k) = n p k (1 − p)k = n k k n n k n. 10 n . 2. a. On en déduit que [P(S n = 0)] = n p 0 (1 − p)n = 1 − 0 n En supposant n > 10, on obtient, en prenant le logarithme ln [P(S n = 0)] = 10 10 ln

0,13 + × 0,87 × 0,13 ≈ 0,721 La probabilité qu'au moins sept entreprises n'emploient aucun salarié est 0,721. B. Loi normale 1° Réponse C : 0,86 Justification (non demandée) : suit la loi normale de moyenne 874 et d'écart type 10,5. Soit la variable aléatoire définie par : ≤ 890,5 = 859,5 − 874 ≤ 10,5 = , =1− = 0,87 = 0,13 ; suit 29 11 −Π − ≈ Π 1,57 − Π −1,38 = Π 1,57 − 1 − Π 1,38 21 7 = 0,9418 − 1 + 0,9162 = 0,858 ≈ 0,86 =Π 2° Réponse A : 0,27 Justification (non demandée) : −

ci-dessous simule une partie : 1 VARIABLES 2 a EST_DU_TYPE NOMBRE 3 p EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME 5 p PREND_LA_VALEUR 1 6 a PREND_LA_VALEUR floor(random()*6+1) 7 TANT_QUE (a!=6 ET p!=6) FAIRE 8 DEBUT_TANT_QUE 9 p PREND_LA_VALEUR p+1 10 a PREND_LA_VALEUR floor(random()*6+1) 11 FIN_TANT_QUE 12 AFFICHER p 13 FIN_ALGORITHME 1. Qu’obtient-on à l’aide de la variable a ? 2. On a simulé deux parties

consistant à tirer un boule dans une urne contenant 3 boules dont une blanche. La probabilité de tirer une blanche est de 1/3. On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanches obtenues à l’issue des 10 expériences. X suit une loi binomiale de 10 2 7 10 1 3 × et = 3. paramètres (10; 1/3). p(X = 3) = × 3 3 3 3 2. Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ(λ > 0). On rappelle que pour tout réel a > 0 : p(X a a) = 0 λe−λt dt . ln 2 . » VRAI λ

estimations c’est-à-dire qu’elles ne tiennent pas compte de l’erreur possible dans l’estimation, erreur attribuable aux fluctuations d’échantillonnage. L’estimation par intervalle de confiance Population Moyenne, , est inconnue Échantillon Échantillon aléatoire Moyenne = 50 Je suis confiant à 95% que  est entre 40 & 60. L’estimation par intervalle de confiance  Consiste à construire, autour de l’estimation ponctuelle, un intervalle qui aura une grande probabilité (1- ) de contenir la vraie valeur

parait aussi nécessaire d’étudier avec soin les coûts qu’ils lui sont appropriés pour chaque cas. I- PROBLEMATIQUE : Dans ce projet, nous allons mettre l’accent sur l’étude d’une file d’attente qui se constitue dans un organe de service variable .Les clients (navires) appartiennent à deux classes distinctes, l’une d’entre elles étant prioritaire .le service est effectué dans l’ordre des arrivées à l’intérieur de chaque classe et dès que possible. Dans la majorité des systèmes