échantillonage

Pages: 8 (1769 mots) Publié le: 18 janvier 2015
EXERCICES : Moivre-Laplace, Échantillonnage et Estimation

TS

Gestion du document : pour masquer les CORRigés et les exercices En Préparation : CORR=V et EP=V
Sources : M. Reisse-Barde, M. Mugnier et divers manuels.

‫ ۝‬Exercice 1. Révision du programme de première S.
Partie 1 : Loi binomiale
Une urne contient 60% de boules rouges.
On prélève au hasard et avec remise 100 boules dansl'urne. On désigne par X la variable aléatoire
correspondant au nombre de boules rouges observées dans un tel prélèvement.
1) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Donner son espérance et la valeur arrondie à 10−4 près de
son écart type.
2) A l'aide de la calculatrice donner les valeurs arrondie à 10−4 près de :
p ( X =60) ; p( X ≤49) ; p ( X ≤50) ; p( X ≥69) ; p ( X ≥70)
Partie 2 :Des intervalles de fluctuation
1) Exprimer en fonction de X la variable aléatoire F qui associe à chaque prélèvement de 100 boules la
fréquence de boules rouges observée.
2) Donner l'intervalle de fluctuation I vu en classe de seconde puis, en utilisant les résultats de la première
partie calculer la probabilité que F prenne ses valeurs dans I.
3) Utiliser les résultats de la première partiepour déterminer le plus petit intervalle J de la forme

( )

[ ]
a b
;
n n

( )

a
b
où a et b sont des entiers naturels, tel que p F < ≤0,025 et p F > ≤0,025 .
n
n
a
b
Que peut on en déduire pour p ≤F ≤
?
n
n

(

)

‫ ۝‬Exercice 2. Un exemple de l'utilisation d'un intervalle de confiance
Un maraîcher achète un lot de semences de tomates pour produire ses plants detomate. Il lui reste des
semences de l'année passée dont il doit contrôler le taux de germination pour pouvoir les utiliser avec les
autres. En effet, des taux de germination trop différents provoquent des trous dans les plates-bandes de
production, ce qui génère un coût de manutention plus élevé car il faut enlever les pots non germés avant
de les conditionner. Il faut donc comparer les taux degermination des semences des deux années.
Une stratégie consiste à calculer et à comparer les intervalles de confiance des taux de germination) qui
sont des proportions) des plants de l'année et de l'année précédente. Si les deux intervalles ne se recoupent
pas, on peut conclure à une différence de taux de germination entre les semences des deux origines.
Pour faire cette comparaison, lemaraîcher prélève aléatoirement dans les semences de l'année un
échantillon de 200 graines qu'il met à germer. Il constate que 185 graines germent.
Il prélève ensuite, aléatoirement dans les semences de l'année précédente, un échantillon de 200 graines
qu'il met à germer. Il constate que 150 grains germent.
1) Déterminer un intervalle de confiance, au niveau 95 %, du taux de germination p a du lotdes semences
de l'année.
2) Déterminer un intervalle de confiance, au niveau 95 %, du taux de germination p b du lot des semences
de l'année précédente.
3) Conclure.
Remarques :
Il est intéressant de noter que, sans connaître p a et p b , on dispose d'une méthode pour décider si au
niveau de confiance 95 % que, si les intervalles de confiance sont disjoints, alors p a et p b sont différents.Il existe d'autre méthodes d'estimation, mais qu'elle que soit la méthode utilisée, si elle est issue d'un
échantillonnage aléatoire, la décision sera toujours entachée d'un risque d'erreur. Les méthodes utilisées
assurent seulement la maîtrise de certains risques de se tromper.
"Activités MATHS TleS" Frédéric Laroche

‫ ۝‬Exercice 3.
On fait pousser 40 plants de courgettes avec nitrateset 40 sans nitrate. Au bout de 4 jours, le pourcentage de
germination est de 45% avec nitrate et 31% sans nitrate.
Peut-on dire que les courgettes germent significativement mieux en présence de nitrate ?
Coup de pouce : Voir l'exercice précédent.

‫ ۝‬Exercice 4.
On considère un théâtre d’une contenance de 1200 places. On estime que la probabilité qu’un spectateur ayant
réservé se...
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