Pondichéry Avril 2006 série S
Exercice 1 :
1.
b

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a. FAUX : Pour tous les réels a et b : (ea) = ea × b = eab. b. VRAI : c. FAUX : La fonction exponentielle est dérivable sur » et pour tous réels x : (ex)’ = ex Donc l’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d’abscisse 1 à pour équation : y = e1(x – 1) + e1 = e.x 2. a. VRAI b. FAUX : la fonction racine carrée est continue en 0 mais pas dérivable en 0 c. VRAI 3. a. FAUX : Considérons pour tout entier naturel n les suites (un) et (vn) définies par : un = n3 et vn = – n2. On a alors un + vn = n3 – n2 = n2(n – 1). On a lim un = +∞ ; lim vn = −∞ et lim (un + vn) = +∞. b. VRAI c. VRAI d. FAUX : Considérons pour tout entier naturel n non nul les suites (un) et (vn) définies par : 1 1 un = 2 + et vn = . n n 1 2+ n u On a alors n = = 2n + 1 (vn ≠ 0) vn 1 n u On a lim un = 2 ; lim vn = 0 et lim n = +∞. vn
Affirmation 1.a Affirmation 1.b Affirmation 1.c Affirmation 2.a Affirmation 2.b Affirmation 2.c Affirmation 3.a Affirmation 3.b Affirmation 3.c Affirmation 3.d FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI VRAI FAUX

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Exercice 2 : candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 1. z1 = 1+i × 2 soit z1 = 1 + i 2 1+i 1 + 2i – 1 z2 = × (1 + i) soit z2 = soit z2 = i 2 2 1+i i–1 z3 = × i soit z3 = 2 2 1+i i–1 i2 – 1 1 z4 = × soit z4 = soit z4 = − 4 2 2 2 On vérifie bien que z4 est un nombre réel. Figure :
A 1 2 → v A1

A3

→

u -1 A4 0

A0 2

1

2. On a pour tout entier naturel n : un+1 = |zn+1| 1 + i  un+1 = 2 zn   1 + i  un+1 =  2 × |zn|   1 1 z un+1 = + × | n| 4 4 2 . un un+1 = 2 1 un+1 = . un 2 La suite (un) est donc bien une suite géométrique de raison q = u0 = 2. Pour tout entier naturel n, on a alors : un = u0 .qn n 1 . un = 2    2 Consulter