2010
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Catégorie : Fonctions numériques On considère la fonction f définie sur par et on note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonomé (unité 0,5 cm)

A) Etude d'une fonction auxiliaire :

soit g la fonction définie sur , par . 1) Etudier les variations de g 2) Déterminer alors le signe de g(x) pour B) Etude et représentation graphique de la fonction f :

1) Etudier les limites de f en et en 2) Montrer que la droite (D) d'équation y = 2x + 4 est asymptote à (C) puis étudier la position relative de (C) par rapport à (D) lorsque

3) Calculer f'(x) puis en déduire que, pour tout 4) Dresser le tableau de variation de f 5) Donne une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 1

6) a) Montrer que f réalise une bijection de sur un intervalle J à préciser. En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique b) On note la bijection réciproque de f. Calculer

7) Tracer (D), (T) et la courbe représentative de dans de repère . C) Calcul d'aire :

1) calculer intégrale 2) En déduire l'aire en de l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x,y) vérifient

Corrigé 2010
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Catégorie : Fonctions numériques et

1)

Le signe de dépend du signe de car pour alors

Si alors donc g est strictement croissante
Si alors donc g est strictement décroissante.

2)

est le maximum de g sur donc pour

B) Etude et représentation graphique de la fonction f: 1) et

2) et donc la droite D: est asymptote à en.

Signe de dépend du signe de \ln{x}

car ;

Si alors d'où est sous D

Si alors d'où est sur D

Si alors = D

3)

4) Le signe de dépend du signe du

Or pour ; alors d'où f est strictement croissante.

5) T:

6) a) F est continue et strictement croissante sur alors f est bijective de vers un intervalle =

or donc il existe un seul tel que

donc

b)

donc et

7) et sont