XVII. Les nombres complexes.
1. Introduction
Progressivement, nous avons agrandi les ensembles de nombres en passant de N à Z puis à Q et enfin à R. Ces agrandissements ont donné la possibilité de résoudre de plus en plus d'équations.
L'équation 2x + 5 = 3 n'a pas de solution dans N mais en a une dans Z : x = -1
L'équation 3x + 5 = 3 n'a pas de solution dans Z mais en a une dans Q : x =  23
L'équation x2 - 3 = 0 n'a pas de solution dans Q mais en a deux dans R : x =  3
Cependant nous avons rencontré des équations du second degré n'ayant pas de solution dans R
Exemple : l'équation x2 - 3x + 5 = 0 n'admet pas de solution réelle car son réalisant est négatif :  = - 11
Nous allons maintenant imaginer un nombre dont le carré serait égal à -1. Ce nombre n'appartient évidemment pas à l'ensemble des réels puisque le carré de tout nombre réel est positif : c'est un nombre imaginaire.
En supposant que l'on calcule avec i comme s'il s'agissait d'un nombre réel, nous pouvons poursuivre la résolution de l'équation proposée et nous obtenons les solutions : x1 =

3
2

+i

11
2

et x2 =

3
2

-i

11
2

Chacune de ces solutions est appelée nombre complexe.
Conclusion : un nombre complexe s'écrit sous la forme a + ib où a et b sont des nombres réels et i un nombre imaginaire dont le carré est - 1 a est la partie réelle et b la partie imaginaire de a + ib
Les nombres complexes dont la partie réelle est nulle sont appelés nombres imaginaires.
Les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle sont des nombres réels.
Les nombres complexes ont de nombreuses applications dans le domaine scientifique, notamment en électricité où les "phaseurs" sont des nombres complexes représentant l’amplitude et le déphasage du courant.

2. Représentation géométrique : le plan de Gauss
2.1 Notion
Lors de la construction des ensembles de nombres, nous avons représenté ces ensembles (N, Z, Q, R) sur une droite graduée. Cette droite s'est ainsi progressivement "remplie".

-5

-4

-3

-2

-1

0

1