+∞

Calculs de ζ(2) = n=1 +∞

1 n2
+∞

1) 1er calcul de un exemple. n=1 1 . De nombreux développements en série de Fourier fournissent la valeur de n2

n=1

1 . En voici n2

a) Soit f la fonction définie sur R à valeurs dans R, 2π-périodique telle que ∀x ∈ [−π, π], f(x) = |x|. 3 y =

2 1

f( x)

−6

−5

−4

−3

−2
1

−1

1

2

3

4

5

6

f est 2π-périodique, continue sur R, de classe C par morceaux et donc, d’après le théorème de Dirichlet, en tout réel x, la série de Fourier de f converge vers f(x). b) Calcul des coefficients de Fourier de f. f est paire et donc ∀n ≥ 1, bn (f) = 0 puis, pour n ∈ N, an (f) = • a0 (f) = 2 π π 2 π

π

t cos(nt) dt.
0

t dt = π.
0 ∗

• Pour n ∈ N , une intégration par parties fournit 2 π π an (f) = =

t cos(nt) dt =
0 π

2 π

t

sin(nt) n

π

−
0

1 n

π

sin(nt) dt
0

=

2 nπ

π

− sin(nt) dt
0

2 cos(nt) nπ n

=
0

2((−1)n − 1) . n2 π

c) Puisque f est somme de sa série de Fourier sur R, on obtient pour tout réel x f(x) = a0 (f) + 2
+∞

(an (f) cos(nx) + bn (f) sin(nx)) = n=1 π + 2

+∞

n=1

π 4 2((−1)n − 1) cos(nx) = − n2 π 2 π

+∞

p=0

cos((2p + 1)x) . (2p + 1)2

En particulier ∀x ∈ [−π, π], |x| = π 4 − 2 π
+∞

π 4 − 2 π

+∞

p=0

cos((2p + 1)x) . (2p + 1)2

x = 0 fournit alors

p=0

1 = 0 et donc (2p + 1)2
+∞

+∞

p=0

π2 1 = . Enfin 2 (2p + 1) 8
+∞

S= n=1 1 = n2

+∞

p=1

1 + (2p)2

p=0

1 π2 1 = S+ (2p + 1)2 4 8

et donc S =

π2 4 π2 × = . 3 8 6
+∞

n=1

1 π2 = et 2 n 6

+∞

n=0

π2 1 = . 2 (2n + 1) 8 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.

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1

1 (version maths sup). Le travail précédent peut être effectué « à la main » en maths sup. n2 n=1 On établit d’abord un outil capital de la démonstration du théorème de Dirtichlet : le lemme de Lebesgue. 2) 2eme calcul de a/ Une expression de 1 sous forme