Analyse du phedre

Pages: 10 (2465 mots) Publié le: 14 novembre 2012
+∞

Calculs de ζ(2) =
n=1
+∞

1 n2
+∞

1) 1er calcul de un exemple.
n=1

1 . De nombreux développements en série de Fourier fournissent la valeur de n2

n=1

1 . En voici n2

a) Soit f la fonction définie sur R à valeurs dans R, 2π-périodique telle que ∀x ∈ [−π, π], f(x) = |x|. 3
y =

2 1

f( x)

−6

−5

−4

−3

−2
1

−1

1

2

3

4

5

6

f est2π-périodique, continue sur R, de classe C par morceaux et donc, d’après le théorème de Dirichlet, en tout réel x, la série de Fourier de f converge vers f(x). b) Calcul des coefficients de Fourier de f. f est paire et donc ∀n ≥ 1, bn (f) = 0 puis, pour n ∈ N, an (f) = • a0 (f) = 2 π
π

2 π

π

t cos(nt) dt.
0

t dt = π.
0 ∗

• Pour n ∈ N , une intégration par parties fournit 2 π
π

an(f) = =

t cos(nt) dt =
0 π

2 π

t

sin(nt) n

π


0

1 n

π

sin(nt) dt
0

=

2 nπ

π

− sin(nt) dt
0

2 cos(nt) nπ n

=
0

2((−1)n − 1) . n2 π

c) Puisque f est somme de sa série de Fourier sur R, on obtient pour tout réel x f(x) = a0 (f) + 2
+∞

(an (f) cos(nx) + bn (f) sin(nx)) =
n=1

π + 2

+∞

n=1

π 4 2((−1)n − 1) cos(nx) = − n2 π 2 π+∞

p=0

cos((2p + 1)x) . (2p + 1)2

En particulier ∀x ∈ [−π, π], |x| = π 4 − 2 π
+∞

π 4 − 2 π

+∞

p=0

cos((2p + 1)x) . (2p + 1)2

x = 0 fournit alors

p=0

1 = 0 et donc (2p + 1)2
+∞

+∞

p=0

π2 1 = . Enfin 2 (2p + 1) 8
+∞

S=
n=1

1 = n2

+∞

p=1

1 + (2p)2

p=0

1 π2 1 = S+ (2p + 1)2 4 8

et donc S =

π2 4 π2 × = . 3 8 6
+∞

n=1

1 π2 = et2 n 6

+∞

n=0

π2 1 = . 2 (2n + 1) 8
c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.

http ://www.maths-france.fr

1

1 (version maths sup). Le travail précédent peut être effectué « à la main » en maths sup. n2 n=1 On établit d’abord un outil capital de la démonstration du théorème de Dirtichlet : le lemme de Lebesgue. 2) 2eme calcul de a/ Une expression de 1 sous forme intégrale.n2
π

+∞

On cherche des réels a et b tels que ∀n ≥ 1,
0

(at2 + bt) cos(nt) dt =

1 . n2

Soit n ∈ N∗ . Deux intégrations par parties fournissent
π

(at2 + bt) cos(nt) dt = (at2 + bt)
0

sin(nt) n

π


0

1 n

π

(2at + b) sin(nt) dt =
0

1 n

π

(2at + b)(− sin(nt)) dt
0

=

π cos(nt) cos(nt) 1 (2at + b) − (2a) dt n n n 0 0 2a π 1 ((−1)n (2aπ + b) − b). = 2 ((2aπ + b)(−1)n − b) − 2 cos(nt) dt = n n 0 n2

π

Maintenant, si les réels a et b vérifient 2aπ + b = 0 et −b = 1 ou encore si b = −1 et a =
π

∀n ≥ 1,
0

(at2 + bt) cos(nt) dt =

1 . Donc n2 ∀n ∈ N∗ , 1 = n2
π 0

1 , alors 2π

t2 − t cos(nt) dt. 2π

n

b) Expression de
k=1

1 sous forme intégrale. k2
n

i) Pour n ∈ N∗ , posons Sn =
k=1 n

1 . D’après a), k2
πSn =
k=1 0 n

t2 − t cos(kt) dt = 2π

π 0

t2 −t 2π

n

cos(kt) dt.
k=1

ii) Calcul de
k=1

cos(kt).

1er calcul. Soit t un réel et n un entier naturel non nul.
n n n n

cos(kt) =
k=1 k=1

Re(eikt ) = Re
k=1 n

eikt

= Re
k=1

(eit )k .

• Si t ∈ 2πZ alors chaque cos(kt) vaut 1 et dans ce cas,
k=1

cos(kt) = n.

• Si t ∈ 2πZ, alors eit = 1 et dans ce cas/
n n

cos(kt) = Re
k=1

(eit )k
k=1

= Re eit

1 − eint 1 − eit sin = nt 2

= Re ei(1+ 2 − 2 )t cos sin t 2 (n + 1)t 2

n

1

e−int/2 − eint/2 e−it/2 − eit/2 sin = (2n + 1)t 2 2 sin t 2 − sin t 2

= Re ei(n+1)t/2

sin(nt/2) sin(t/2)

1 =− + 2

sin

(2n + 1)t 2 . t 2 sin 2 2
c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.

http ://www.maths-france.fr Finalement,   n + 1 si t ∈ 2πZ    2   n  (2n + 1)t 1 sin ∀n ∈ N∗ , ∀t ∈ R, cos(kt) = − + ϕn (t) où ϕn (t) = . 2  2  k=1 si t ∈ 2πZ /    t   2 sin 2

2ème calcul. Soient t un réel et n un entier naturel non nul. t 2
n n

2 sin

cos(kt) =
k=1 k=1

1 1 sin k + )t − sin k − )t 2 2 t 2 (somme télescopique).

1 = sin (n + )t − sin 2
n

et pour t ∈ 2πZ, on retrouve /
k=1

1...
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