Planche no 1. Trigonométrie circulaire
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

no 1 (*IT) Résoudre dans R puis dans [0, 2π] les équations suivantes : 1) sin x = 0 2) sin x = 1 3) sin x = −1 4) cos x = 1 5) cos x = −1 8) tan x = 1. no 2 (*IT) Résoudre dans R puis dans [0, 2π] les équations suivantes : 1 1) sin x = 2 1 2) sin x = − √ 2 1 3) tan x = −1 4) tan x = √ 3 √ 3 5) cos x = 2 1 6) cos x = − √ . 2 6) cos x = 0 7) tan x = 0

no 3(**IT) Résoudre dans R puis dans I les équations suivantes : 1 , I = [0, 2π] 2 4) cos(2x) = cos2 x, I = [0, 2π] 7) | cos(nx)| = 1 10) sin x = tan x, I = [0, 2π] 1) sin(2x) = 1 x = − √ , I = [0, 4π] 2 2 5) 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0, I = [0, 2π] 8) sin(nx) = 0 11) sin(2x) + sin x = 0, I = [0, 2π] 2) sin

3) tan(5x) = 1, I = [0, π] 6) cos(nx) = 0 (n ∈ N∗ ) 9) | sin(nx)| = 1 12) 12 cos2 x − 8 sin2 x = 2, I = [−π, π]

no 4 (**IT) Résoudre dans I les inéquations suivantes : x 1 3) cos x > cos , I = [0, 2π] 2) sin x ≥ − √ , I = R 2 2 x x 1 2 2 4) cos x ≥ cos(2x), I = [−π, π] 5) cos x ≤ , I = [0, 2π] 6) cos ≤ sin , I = [0, 2π]. 2 3 3 π π no 5 (*I) Calculer cos et sin . 8 8 π π o et sin . n 6 (*I) Calculer cos 12 12 1) cos x ≤ 1 , I = [−π, π] 2 no 7 (***) Montrer que n cos (±a1 ± a2 ± ... ± an ) = 2n cos a1 cos a2 ... cos an (la somme comporte 2n termes). cos k=1 n

no 8 (***I) 1) Calculer

a 2k

pour a élément donné de ]0, π[ (penser à sin(2x) = 2 sin x cos x). a ) . 2k
2

2) Déterminer

n→ +∞

lim

ln cos( k=1 no 9 (**) Résoudre dans R l’équation 24 cos

x+1

+ 16.24 sin

2

x−3

= 20.

1 1 no 10 (***) Soit a un réel distinct de √ et − √ . 3 3 1) Calculer tan(3θ) en fonction de tan θ. 2) Résoudre dans R l’équation : 3x − x3 3a − a3 = . 1 − 3x2 1 − 3a2 On trouvera deux méthodes, l’une algébrique et l’autre utilisant la formule de trigonométrie établie en 1). no 11 (****) On veut calculer S = tan 9◦ −