Angles orientés de deux vecteurs
I) Définition :
•

et

•

sont deux vecteurs non nuls.

et

sont deux représentants de ces vecteurs.

• A’ et B’ sont les points d’intersections respectifs des demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique (C ).
La mesure en radians de l’angle orienté ( ; ) sont les mesures en radian de ( ′ ;
′)

II) Propriétés des angles orientés
1) Propriétés et sont deux vecteurs non nuls.

•

et

sont colinéaires de même sens si , et seulement si, ( ; ) = 0

•

et

sont colinéaires de sens contraire si , et seulement si, ( ; ) =

2) Relation de Chasles
• Pour tous vecteurs non nuls
( ;

)+( ;

)=( ;

,

et

)+

:

( )

• Soit O, M, N et P quatre points du plan tels que O ≠ M ; O ≠ N et O ≠ P
On a la relation suivante :
(

;

)+(

;

)=(

;

)+

3) Autres propriétés
Pour tous vecteurs non nuls
• ( ; ) = ( ; ) ( )
•( ;

)=

( ; ) ( )

•(

; )=

( ; ) ( )

•(

;

) = ( ; ) ( )

,

:

(

)

Démonstrations

•

Le vecteur ( ; ) est dans le sens contraire du vecteur ( ; ) . L’un est dans le sens direct l’autre dans le sens indirect : d’où l’égalité : ( ; ) = ( ; ) (2 )

• En utilisant la relation de Chasles :
( ;

)=( ; ) +( ;- )

or ( ;

)=

donc ( ;

( )

( ) car ces deux vecteurs sont colinéaires de sens contraires

)=( ; ) +

( )

• En utilisant la relation de Chasles :
(- ; ) = ( or (

; ) +( ; )

; )=

donc (

( )

( ) car ces deux vecteurs sont colinéaires de sens contraires

; )=

+( ; )

( )

• En utilisant la relation de Chasles :
(- ;

)= (

; ) +( ; )+( ;- )

Or ( ;

)=

(2 ) et (

; )=

donc (

;

)=

(

;

)=( ; )+ 2

On obtient donc : (

+( ; )+

;

(2 )
( )

(2 )

)=( ; )+

( )

III) Exemples
Exemple 1 : Le plan est orienté. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
Justifier