Automatique snl

1206 mots 5 pages
B. Jouvencel

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Systèmes non linéaires
Définition d’un système non linéaire ˙ Soit un système régi par une équation différentielle : x = f (x,u) n m x R , u R , où f est une fonction non linéaire. -1-

˙ Système libre : la commande n’intervient pas x = f (x) , l’évolution du système se fait à partir de conditions initiales. ˙ Solution de l’équation -1- y(t) est dit solution de -1- si y(t) vérifie y = f (y,u)

Trajectoire Soit x(t ) avec x R n , une solution qui vérifie l’équation -1- et définie par les conditions initiales x(0) . On appelle trajectoire temporelle, la trajectoire suivie par x(t) dans R n+1 = {, R n }et on appelle t n trajectoire de phase, la trajectoire suivie par x(t) dans R

x Exemple :système linéaire : ˙˙ + x = 0 Posons ˙ X 1 = x et X 2 = x La solution est X 1 (t ) = X 10 cos(t ) et X 2 (t ) = X 20 sin(t ) On appelle trajectoire temporelle la courbe dans R 3 = {t, X1, X 2 } On appelle trajectoire de phase la trajectoire dans R 2 = { X1, X 2 }
2 1.5

1
1

0.5
0.5

0
0

-0.5

-0.5 -1

-1 1 0.5 0 -0.5 -1 0 10 20 30

-1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Trajectoire temporelle

Tarjectoire de phase y0=[-1 0]; [t,y]=ode45('ressort',[0 30],y0); axis equal; comet3(t,y(:,1),y(:,2)); figure plot3(t,y(:,1),y(:,2));

function dx=ressort(t,x) dx=[x(2);-x(1)];

B. Jouvencel

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Portrait de phase : l’ensemble des trajectoires de phase possibles (suivant les conditions initiales)

˙ ˙ Exemple d’un système non linéaire x1 = x 2 et x 2 = 3x1
1.5

x12 0.06x 2

1.5 1 0.5 0

1

0.5

0
-0.5 -1

-0.5
-1.5 0.5 0 -0.5 5 -1 0 10 20 15

-1

-1.5 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Trajectoire temporelle
Points singuliers

Tarjectoire de phase

˙ Soit un système non linéaire libre, défini par une équation du type x = f (x) , on appelle point n ˙ singulier un point de R tel que x = 0

Exemple ˙ x1 = x 2 ˙ x 2 = 3x1 x12 0.06x 2 ˙ x 2s = 0 x1 = 0 2 ˙ 3x1s

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