Automatique snl

Pages: 5 (1206 mots) Publié le: 6 janvier 2011
B. Jouvencel

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Systèmes non linéaires
Définition d’un système non linéaire ˙ Soit un système régi par une équation différentielle : x = f (x,u) n m x R , u R , où f est une fonction non linéaire. -1-

˙ Système libre : la commande n’intervient pas x = f (x) , l’évolution du système se fait à partir de conditions initiales. ˙ Solution de l’équation -1- y(t) est dit solution de -1- siy(t) vérifie y = f (y,u)

Trajectoire Soit x(t ) avec x R n , une solution qui vérifie l’équation -1- et définie par les conditions initiales x(0) . On appelle trajectoire temporelle, la trajectoire suivie par x(t) dans R n+1 = {, R n }et on appelle t n trajectoire de phase, la trajectoire suivie par x(t) dans R

x Exemple :système linéaire : ˙˙ + x = 0 Posons ˙ X 1 = x et X 2 = x La solutionest X 1 (t ) = X 10 cos(t ) et X 2 (t ) = X 20 sin(t ) On appelle trajectoire temporelle la courbe dans R 3 = {t, X1, X 2 } On appelle trajectoire de phase la trajectoire dans R 2 = { X1, X 2 }
2 1.5

1
1

0.5
0.5

0
0

-0.5

-0.5 -1

-1 1 0.5 0 -0.5 -1 0 10 20 30

-1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Trajectoire temporelle

Tarjectoire de phasey0=[-1 0]; [t,y]=ode45('ressort',[0 30],y0); axis equal; comet3(t,y(:,1),y(:,2)); figure plot3(t,y(:,1),y(:,2));

function dx=ressort(t,x) dx=[x(2);-x(1)];

B. Jouvencel

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Portrait de phase : l’ensemble des trajectoires de phase possibles (suivant les conditions initiales)

˙ ˙ Exemple d’un système non linéaire x1 = x 2 et x 2 = 3x1
1.5

x12 0.06x 2

1.5 1 0.5 0

1

0.5

0-0.5 -1

-0.5
-1.5 0.5 0 -0.5 5 -1 0 10 20 15

-1

-1.5 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Trajectoire temporelle
Points singuliers

Tarjectoire de phase

˙ Soit un système non linéaire libre, défini par une équation du type x = f (x) , on appelle point n ˙ singulier un point de R tel que x = 0

Exemple ˙ x1 = x 2 ˙ x 2 = 3x1 x12 0.06x 2 ˙ x 2s = 0 x1 = 0 2 ˙ 3x1sx1s = x1s ( 3 + x1s ) = 0 x2 = 0 soit x1s = 0 et x1s = 3 Il existe 2 points singuliers : 0 3 X1s = X 2s = 0 0 Nature des points singuliers La question est de savoir si un point singulier est un attracteur ou non. Ceci signifie que l’on s’interroge pour savoir si une trajectoire de phase démarrant dans un voisinage de ce point, sera attirée vers ce point (attracteur) tournera autour de ce point(cycle limite) ou divergera. Si la trajectoire converge vers le point singulier celui-ci est appelé attracteur asymptotiquement stable Si la trajectoire diverge du point, ce point est instable Si la trajectoire tourne autour du point on dit qu’il est juste stable

B. Jouvencel Théorème de Lyapunov

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Le comportement au voisinage du point singulier du système linéaire est équivalent aucomportement du système linéarisé autour de ce point. Si le linéarisé est stable alors le systèe non linéaire est stable , Si le linéarisé est instable alors le système non linéaire est instable Sinon on ne peut conclure. Exemple ˙ x1 = x 2 ˙ x 2 = 3x1 x12 0.06x 2 Il existe 2 points singuliers : 0 3 X1s = etX 2s = 0 0 Calcul du linéarisé autour du premier point singulier ˙ ˙ Posons X = X1s + X alors X= 0 + X Linéarisation des équations on utilise le développement limité f f ˙ x1 + 1 x2 x1 = f1 (x1s + x1, x 2s + x 2 ) = f1 (x1s, x 2s ) + 1 x1 x ,x x 2 x ,x
1s 2s 1s 2s

d’où ˙ x1 = 0 + x 2 ˙ x 2 = 0 3 x1 0.06 x 2 0 1 ˙ X Soit X = 3 0.06 Ce système linéaire a pour valeurs propres -0.0300 + 1.7318i -0.0300 - 1.7318i Les 2 valeurs propres sont à partie réelle négative donc le système linéaireest stable et par conséquent, le système non-linéaire est stable au voisinage de ce point. Calcul du linéarisé autour du second point singulier 3 ˙ ˙ + X Posons X = X1s + X alors X = 0 ˙ x1 = x 2 ˙ Pour x 2 = 3x1 x12 0.06x 2 ˙ x 2 = 3( 3) ( 3) 2 + ( 3 2( 3)) x1 0.06 x 2 = 3 x1 0.06 x 2 0 1 ˙ X Soit X = 3 0.06 Ce système linéaire a pour valeurs propres 1.7023 -1.7623 L’une des valeurs propres est...
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