Automatique snl
1206 mots
5 pages
B. Jouvencel1/5
Systèmes non linéaires
Définition d’un système non linéaire ˙ Soit un système régi par une équation différentielle : x = f (x,u) n m x R , u R , où f est une fonction non linéaire. -1-
˙ Système libre : la commande n’intervient pas x = f (x) , l’évolution du système se fait à partir de conditions initiales. ˙ Solution de l’équation -1- y(t) est dit solution de -1- si y(t) vérifie y = f (y,u)
Trajectoire Soit x(t ) avec x R n , une solution qui vérifie l’équation -1- et définie par les conditions initiales x(0) . On appelle trajectoire temporelle, la trajectoire suivie par x(t) dans R n+1 = {, R n }et on appelle t n trajectoire de phase, la trajectoire suivie par x(t) dans R
x Exemple :système linéaire : ˙˙ + x = 0 Posons ˙ X 1 = x et X 2 = x La solution est X 1 (t ) = X 10 cos(t ) et X 2 (t ) = X 20 sin(t ) On appelle trajectoire temporelle la courbe dans R 3 = {t, X1, X 2 } On appelle trajectoire de phase la trajectoire dans R 2 = { X1, X 2 }
2 1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5 -1
-1 1 0.5 0 -0.5 -1 0 10 20 30
-1.5 -2 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Trajectoire temporelle
Tarjectoire de phase y0=[-1 0]; [t,y]=ode45('ressort',[0 30],y0); axis equal; comet3(t,y(:,1),y(:,2)); figure plot3(t,y(:,1),y(:,2));
function dx=ressort(t,x) dx=[x(2);-x(1)];
B. Jouvencel
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Portrait de phase : l’ensemble des trajectoires de phase possibles (suivant les conditions initiales)
˙ ˙ Exemple d’un système non linéaire x1 = x 2 et x 2 = 3x1
1.5
x12 0.06x 2
1.5 1 0.5 0
1
0.5
0
-0.5 -1
-0.5
-1.5 0.5 0 -0.5 5 -1 0 10 20 15
-1
-1.5 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Trajectoire temporelle
Points singuliers
Tarjectoire de phase
˙ Soit un système non linéaire libre, défini par une équation du type x = f (x) , on appelle point n ˙ singulier un point de R tel que x = 0
Exemple ˙ x1 = x 2 ˙ x 2 = 3x1 x12 0.06x 2 ˙ x 2s = 0 x1 = 0 2 ˙ 3x1s