bachelière

Pages: 6 (1281 mots) Publié le: 15 janvier 2014
Résumé : Probabilités

Niveau : Bac Sciences de l’informatique
Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber
Tableau récapitulatif sur le dénombrement:
Type du tirage :

Simultané

Successif sans remise

Successif avec remise

Un tirage possible :

Une combinaison

Un arrangement

Une application

L’ordre :

N’intervient pas

Intervient

Intervient

Nombre de tirages de 𝒑éléments parmi 𝒏 éléments :

Sans répétition

𝐶𝑛

Sans répétition

𝐴𝑛

Possibilité de répétition

La répétition :

𝑝

𝑝

𝑛𝑝

Vocabulaire :

 Une expérience aléatoire est une expérience qui dépend du hasard : le résultat ne peut donc
être déterminé a priori.

l’expérience. On le note 𝛀 (appelé aussi l’univers des cas possibles).

 L’univers de l’expérience aléatoire estl’ensemble des issues (ou résultats) possibles de

 Un évènement est une partie de Ω. L’ensemble vide est appelé évènement impossible.
L’univers Ω est appelé aussi évènement certain.

 Un singleton de Ω (ou un résultat) est appelé évènement élémentaire ou éventualité.

Soit 𝐴 et 𝐵 deux évènements.

 L’évènement 𝑨 ∩ 𝑩 est l’évènement "𝑨 et 𝑩". Il est réalisé si 𝐴 et 𝐵 sont réalisés

L’évènement 𝑨 ∪ 𝑩 est l’évènement "𝑨 ou 𝑩". Il est réalisé si l'un au moins des deux
simultanément (au même temps).
évènements 𝐴 et 𝐵 est réalisé.

𝜴 ∖ 𝑨, qu’on note � , est l’évènement contraire de 𝐴. Il est réalisé si
𝑨

et seulement si 𝐴 n’est pas réalisé.

 L’ensemble

𝐴 et 𝐵 sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser au même temps (𝑨 ∩ 𝑩 = ∅).

 Si 𝐴 ⊂ 𝐵, alors 𝑩 ∖ 𝐀 estl’ensemble des éléments de 𝐵 qui n’appartiennent pas à 𝐴.
 𝐴 et 𝐵 sont dits contraires si 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝜴 et 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅. On note 𝑨 = � ou 𝑩 = � .
𝑩
𝑨



Définition : "Probabilité"

Soit 𝛺 un univers fini et 𝑃(Ω) l’ensemble des parties de 𝛺.

On appelle probabilité sur Ω toute application 𝑝 de 𝑃(Ω) dans [0,1] telle que :
𝑝(Ω) = 1

2. Pour tous 𝐴 et 𝐵 de 𝑃(Ω) tels que 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ on a : 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵)= 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵).
1.

⇒ Le triplet (Ω, 𝑃(Ω), 𝑝) s’appelle espace probabilisé fini.

Professeur : Benjeddou Saber (saberbjd2003@yahoo.fr) 1/7

Probabilités

Propriétés :

Soit (Ω, 𝑃(Ω), 𝑝) un espace probabilisé fini. 𝐴 et 𝐵 sont deux évènements.

1. La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires de Ω est
égale à 1.

3.

𝐴 est la somme des probabilités des évènementsélémentaires dont la réunion est 𝐴.

2. La probabilité de
𝟎 ≤ 𝒑(𝑨) ≤ 𝟏.


𝒑(𝑨) = 𝟏 − 𝒑(𝑨).

5. Si 𝑨 ⊂ 𝑩, alors 𝒑(𝑩 ∖ 𝑨) = 𝒑(𝑩) − 𝒑(𝑨) et 𝒑(𝑨) ≤ 𝒑(𝑩).
4.

6.
7.

𝒑(∅) = 𝟎.

𝒑(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒑(𝑨) + 𝒑(𝑩) − 𝒑(𝑨 ∩ 𝑩).

Théorème : "Probabilité uniforme"

Soit Ω = {ω1 , ω2 , … , ω 𝑛 } un univers fini et 𝑝 une probabilité sur 𝑃(Ω).

La probabilité 𝑝 est dite uniforme ou uneéquiprobabilité, lorsque tous les
évènements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés.
𝒑({𝛚 𝟏 }) = 𝒑({𝛚 𝟐 }) = ⋯ = 𝒑({𝛚 𝒏 }) =

Dans ce cas on a :

 Pour tout évènement 𝐴 on a : 𝒑(𝑨) =


=
𝒏
𝟏

𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨)

𝒄𝒂𝒓𝒅(𝛀)

𝟏

𝒄𝒂𝒓𝒅(𝛀)
𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔

=

𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

Définition : "Probabilité conditionnelle"

Soit (Ω, 𝑃(Ω), 𝑝) un espace probabilisé fini. 𝐴 et𝐵 sont deux évènements tels que
𝑝(𝐵) ≠ 0.

On appelle probabilité conditionnelle de 𝐴 sachant 𝐵, le réel : 𝒑(𝑨 ∕ 𝑩) =
On la note aussi 𝒑 𝑩 (𝑨) et on lit :"Probabilité de 𝐴 sachant 𝐵"

𝒑(𝑨∩𝑩)
𝒑(𝑩)

 Deux évènements 𝐴 et 𝐵 sont dits équiprobables si 𝒑(𝑨) = 𝒑(𝑩).

Vocabulaire :

 Deux évènements 𝐴 et 𝐵 sont dits indépendants si la réalisation de l’un n’influe pas sur la
réalisation del’autre. C’est a dire 𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝒑(𝑨) × 𝒑(𝑩).

Professeur : Benjeddou Saber (saberbjd2003@yahoo.fr) 2/7

Probabilités



𝐸 étant un ensemble fini. Les parties 𝐴1 , 𝐴3 ,…,𝐴 𝑛 de 𝐸 forment une partition de 𝐸

lorsqu’elles sont deux à deux disjointes et leur réunion est 𝐸.

Conséquence :

Soit (Ω, 𝑃(Ω), 𝑝) un espace probabilisé fini, 𝐴 et 𝐵 deux évènements.
 Si 𝑝(𝐵) ≠...
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