Chapitre 1 Fonction d'une variable réelle

Pages: 6 (1451 mots) Publié le: 13 février 2014
Chapitre 1
Fonction d'une variable réelle

I Fonctions et courbes de référence

Soit f une fonction définie sur un intervalle I sur R, on appelle représentation graphique de f, l'ensemble Cf des points de coordonnées ( x ; f(x) ) avec x ₤ I.
La courbe Cf a pour équation y = f(x).

1/ La fonction affine

On appelle fonction affine toute fonction f définie sur R par f(x) = ax + b
où aet b sont deux réels donnés.
Remarque
si a = 0 alors f(x) = b, la fonction f est constante.
si b = 0 alors f(x) = ax, la fonction f est linéaire.

Une fonction affine est dérivable sur R, donc si f(x) = ax + b alors f'(x) = a
Sens de variation
a › 0 = fonction strictement croissante
a ‹ 0 = fonction strictement décroissante

La représentation graphique de la fonction affine définie surR par f(x) = ax + b
est la droit d'équation y = ax + b

Tableau de signe de ax + b avec a ‡ 0
On a ax + b = 0 ssi

Pour a › 0
x -∞ -b / a +∞
ax + b - 0 +

Pour a ‹ 0
x -∞ -b / a +∞
ax + b + 0 -



2/ Les fonctions polynômes de degré 2
La fonction carré

La fonction carré est définie sur R par f(x) = x²
f'(x) = 2x

x -∞ 0 +∞
f'(x) - 0 +
f(x) +∞-∞

0

Sa représentation graphique est une parabole. ( forme = u ou n )

Inégalités
a et b sont deux réels négatifs
a ‹ b ssi a² › b²
a et b sont deux réels positifs
a ‹ b ssi a² ‹ b²

Cas général

Les fonctions polynômes de degré 2 sont les fonctions f définies sur R
par f(x) = ax² + bx + c avec a, b et c, trois réels et a ‡ 0

f'(x) = 2ax + b
2ax + b = 0
2ax = -bx = (-b/2a)

Les représentations graphiques des fonctions polynômes de degré 2 sont des paraboles. Le sommet de chacune de ces paraboles a pour abscisse (-b/2a) et pour ordonnée f(-b/2a)

Ces paraboles sont symétriques par rapport à la droite d'équation x = (-b/2a)

Tableau de variation
f(x) = ax² + bx + c

Avec a › 0 → u
x -∞ -b/2a +∞
f(x)
f(-b/2a)


Avec a ‹ 0 → n
x -∞-b/2a +∞
f(x) f(-b/2a)

3/ La fonction cube

La fonction f(x) définie sur R par f(x) = x3 est appelée fonction cube.
Elle est dérivable f'(x) = 3x²

x -∞ +∞
f(x)



Dans un repère orthogonal d'origine O, la courbe C, représentation de la fonction cube, est symétrique par rapport à O.

X
0
0.5
1
1.5
2

f(x)

0

0,125


1

3,375


8

Soit a et b deuxréels
a > b ssi a3 < b3


4/ La fonction racine carré

La fonction f définie sur [ 0 ; +∞ [
par f(x) = √(x) est appelée fonction racine carré.
Cette fonction est dérivable sur ] 0 ; +∞ [
et on a f'(x) = 1 / 2√(x)

x 0 +∞
f(x) +∞
0


Sur [ 0 ; +∞ [
x < y ssi √(x) < √y

Dans un repère orthonormé, D est la droite d'équation y = x,
C est la courbe représentative de lafonction racine carré,
et P est la courbe représentative de la fonction carré.
P et C sont symétriques par rapport à la droite D.
Pour tout réel x ≥ 0 et y ≥ 0
√x = y si et seulement si x = y² ex → √9 = 3²
5/ La fonction inverse

La fonction inverse f est définie sur R - { 0 } par f (x) = 1/x
On a f'(x) = -1/x² pour x ‡ 0

Remarque = R - { 0 } = ] -∞ ; 0 [ U ] 0 ; +∞ [

La fonctioninverse est décroissante sur ] -∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; +∞ [

Si a < b alors f(a) > f(b)
f(-5) = -(1/5) f(2) = ½

x -∞ 0 +∞
f(x) 0 +∞
-∞ 0

La fonction inverse est représentée par une courbe appelée hyperbole
d'équation y = 1/x.
Cette courbe admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

6/ La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, noté ln,est la fonction définie et
dérivable sur ] 0 ; +∞ [
telle que ln'x = 1/x et ln1 = 0
On dit aussi que la fonction ln est primitive sur ] 0 ; +∞ [
de la fonction qui à x associé 1/x qui s'annule en 1.

Sens de variation
on a sur ] 0 ; +∞ [ ln'(x) = 1 donc ln'x > 0
donc la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; +∞ [

x 0 +∞
ln'x + avec e le réél tel que lne = 1...
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