Chapitre 1 Fonction d'une variable réelle

1451 mots 6 pages
Chapitre 1
Fonction d'une variable réelle

I Fonctions et courbes de référence

Soit f une fonction définie sur un intervalle I sur R, on appelle représentation graphique de f, l'ensemble Cf des points de coordonnées ( x ; f(x) ) avec x ₤ I.
La courbe Cf a pour équation y = f(x).

1/ La fonction affine

On appelle fonction affine toute fonction f définie sur R par f(x) = ax + b où a et b sont deux réels donnés.
Remarque
si a = 0 alors f(x) = b, la fonction f est constante. si b = 0 alors f(x) = ax, la fonction f est linéaire.

Une fonction affine est dérivable sur R, donc si f(x) = ax + b alors f'(x) = a
Sens de variation a › 0 = fonction strictement croissante a ‹ 0 = fonction strictement décroissante

La représentation graphique de la fonction affine définie sur R par f(x) = ax + b est la droit d'équation y = ax + b

Tableau de signe de ax + b avec a ‡ 0
On a ax + b = 0 ssi

Pour a › 0 x -∞ -b / a +∞ ax + b - 0 +

Pour a ‹ 0 x -∞ -b / a +∞ ax + b + 0 -

2/ Les fonctions polynômes de degré 2
La fonction carré

La fonction carré est définie sur R par f(x) = x² f'(x) = 2x

x -∞ 0 +∞ f'(x) - 0 + f(x) +∞ -∞

0

Sa représentation graphique est une parabole. ( forme = u ou n )

Inégalités a et b sont deux réels négatifs a ‹ b ssi a² › b² a et b sont deux réels positifs a ‹ b ssi a² ‹ b²

Cas général

Les fonctions polynômes de degré 2 sont les fonctions f définies sur R par f(x) = ax² + bx + c avec a, b et c, trois réels et a ‡ 0

f'(x) = 2ax + b 2ax + b = 0 2ax = -b x = (-b/2a)

Les représentations graphiques des fonctions polynômes de degré 2 sont des paraboles. Le sommet de chacune de ces paraboles a pour abscisse (-b/2a) et pour ordonnée f(-b/2a)

Ces paraboles sont symétriques par rapport à la droite d'équation x = (-b/2a)

Tableau de variation f(x) = ax² + bx + c

Avec a › 0 → u x -∞ -b/2a +∞ f(x) f(-b/2a)

Avec a ‹ 0 → n x -∞

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