Cned maths devoir 1 bts sio 1ere année

723 mots 3 pages
Devoir 1

Exercice 1

a. f(a,b,c) = a.b(barre).c + c.b (barre) + c(barre).a.b(barre) f(a,b,c) = cb(barre)*(a+1)=cb(barre)a(barre) b(barre)*[ca(barre)+ac(barre)]=b(barre) b.
Tableau de Karnaugh :

a.!b.c+c.!b+!c.a.!b

b.c

b.!c

!b.!c

!b.c

a
0
0
1
1
A !
0
0
0
1

Ecriture simplifié : a !b + !b c

c)

Exercice 2.

Avec u0=1

u1 = 1+8/2+1 u1 = 9/3 = 3

u2 = 3+8/6+1 u2 = 11/7 2.2

h( x ) = (x +8) /(2x +1)

a) variations de h sur [0; 5]
Soit a et b deux réels sur [0; 5] et a et b different de (-0.5).

Soit a = 0 et b = 5 si a < b alors h(a) b alors h(a) > h(b) et h(x) decroissant h(0) = (0+8)/(2*0+1) h(0) = 8/1 = 8

h(5) = (5+8)/(2*5+1) h(5) = 13/11

alors h(0)>h(5) alors h(a) >h(b) et h(x) décroissant sur [0;5].

b) h(x) = x (x+8)/(2x+1)= x x= 2, -2 c)

noir : h(x) = (x+8)/(2x+1) bleu : y = x

4)
a) vn = (un-2)/(un+2)

v0 = (u0-2)/(u0+2) v0 = (1-2)/(1+2) v0 = -1/3

suite exercice 4

v1 = (u1-2)/(u1+2) v1 = (3-2)/(3+2) v1 = 1/5

v2 = (u2-2)/(u2+2) v2 = ((11/7)-2)/((11/7)+2) v2 = (-(3/7))/(25/7) v2 = -21/175 v2 = -3/25
b)

pour démontrer qu'une suite est géométrique, il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité vn+1 = q vn et si vn est non nul quelque soit n, il suffit de prouver que : vn+1/vn = q ou q est un réel constant.
V0/v1 = q
-(1/3)/(1/5) = q
-(5/3) = q

v1/v2 = q
(1/5)/-(3/25) = q
-(25/15) = q
-(5/3) = q

vn est une suite geometrique de raison q avec q = -(5/3)

Exercice 3

f(x) = ((x-1)/x)*(ln(x)-2)

1) lim f → +∞ = +∞

lim f → 0 = +∞

La fonction inverse définie sur R\{0} admet la droite d’équation y = 0 comme asymptote horizontale au voisinage de +∞ .

2)
Tableau de variations :

X
-∞
0
+∞

Var de f
0 → −∞
||
+ ∞ → 0

3) f(x) = ((x-1)/x)*(ln(x)-2) f'(x) =

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