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Prépas Probatoire

MINESEC - OBC
Session 2009

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

EXAMEN

: PROBATOIRE C-E

Durée :3H Coefficient : 6(C) ; 5(E)

Exercice 1

/ 03, 5 points

Dans le plan orienté, on considère le carré ABCD de sens direct, de centre O et de côté 1 (unité : 35 mm). Soit G le barycentre des points (A, 1) ; (B, 2) ; (C, 1). 1. a. Montrer que G est le milieu du segment [OB]. b. Construire le point G. 2. On désigne par ( Γ ) l’ensemble des points M du plan tels que : MA2 + 2MB2 + MC2 = 6 . a. Démontrer que pour tout point M du plan, on a : 3 . MA2 + 2MB2 + MC2 = 4MG2 + 2 b. En déduire la nature précise de ( Γ ). 3. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport 2, et r la rotation de centre O et d’angle On pose f = h ο r. a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f. b. Construire A’ B’ C’ D’ et G’, images respectives du carré ABCD et de G par f. 0,5 pt 0,5 pt

1 pt 0,5 pt

π
2

. 0,5 pt 0,5 pt

Exercice 2

/ 02 points

On considère les suites (un) et (vn) définies par :u0 = 2, un+1 = 2un+n-1 et vn = un + n. 1. a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. Exprimer vn en fonction de n, puis un en fonction de n. 2. Un animal mesure 2 cm à sa naissance. Sa taille à la fin de la (n+1)ème semaine, diminuée de (n-1) centimètres est le double de celle qu’il avait à la fin de la nème semaine. Quelle est la mesure de la taille de cet animal à la fin de la dixième semaine ? 0,5 pt 0,5 pt

1 pt

Exercice 3

/ 03,5 points

On considère l’équation (E) : sin 3x = - sin2x 1. Résoudre l’équation (E) dans l’intervalle]- π , π ] , puis représenter ses solutions sur un cercle trigonométrique. 2. a. Démontrer que sin 3x = sinx (4cos x – 1). b. En déduire que l’équation (E) est équivalente à sin sinx (4cos2x + 2cosx – 1) = 0. c. Parmi les solutions trouvées pour (E), lesquelles sont aussi solutions de l’équation : 4cos2x + 2cosx – 1 = 0