Comptabilité

Pages: 5 (1119 mots) Publié le: 15 avril 2011
Corrigé des exercices sur les applications linéaires

Le texte indique que f est une application linéaire de R2 dans R3. Le texte donne deux vecteurs e1 = [pic]et e2 = [pic]; ces deux vecteurs appartiennent à R2 car ces 2 vecteurs ont deux composantes. On peut noter que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants car e1 n’est pas égal à une constante multipliée par e2. Comme ce sontdeux vecteurs indépendants et que l’ensemble R2 a pour dimension 2, les vecteurs e1 et e2 forment une base de R2 . Cette base est appelée base canonique en raison de sa simplicité. Il existe une infinité de bases de R2, mais toutes les bases sont formées de 2 vecteurs indépendants.
Si v = [pic], v est un vecteur de R2 car v a deux composantes (1 et 2).
Tout vecteur de R2 se met sous la formed’une combinaison linéaire unique des vecteurs d’une base quelconque de R2 (théorème).
En particulier v = 1 * e1 + 2 * e2.
Comme v = 1 * e1 + 2 * e2, on peut donc écrire que :
f(v) = f(1 * e1 + 2 * e2 );
Comme f est une application linéaire, on peut écrire :
f(v) = f(1 * e1 ) + f(2 * e2 );
Comme f est une application linéaire, on peut écrire :f(v) = 1 * f( e1 ) + 2 * f( e2 );
Les données du texte donnent
f( e1 ) = [pic] ; f( e2 ) = [pic] ;
Avec ces données, on peut écrire :
f(v) = 1 * [pic] + 2 * [pic] ;
= [pic]+ [pic]
= [pic]
De manière générale comme v =[pic] est un élément de R2, on peut écrire:
v = x1 e1 + x2 e2
Comme v = x1 e1 + x2 e2, on peut donc écrire que :
f(v)= f(x1 e1 + x2 e2);
Comme f est une application linéaire, on peut écrire :
f(v) = f(x1 e1 ) + f(x2 e2);
Comme f est une application linéaire, on peut écrire :
f(v) = x1 * f( e1 ) + x2* f( e2 );
Les données du texte donnent
f( e1 ) =[pic] ; f( e2 ) = [pic] ;
Avec ces données, on peut écrire :
f(v) = x1 * [pic] + x2 * [pic] ;= [pic]

Quel est le sous espace Imf ?
Les éléments de Imf sont des vecteurs à 3 composantes; ce sont des éléments de R3. Par exemple, par définition de Imf, f(e1 ) est un élément de Imf. De même par définition de Imf, f(e2) est un élément de Imf.
Les données du texte donnent
f( e1 ) = [pic] ; f( e2 ) = [pic] ;
D’après ces données, on peut conclure que f( e1 ) et f( e2 ) sont2 vecteurs indépendants car ces 2 vecteurs ne sont pas proportionnels.
D’après la question précédente, pour tout vecteur v de R2, on peut écrire que
f(v) = x1 * f( e1 ) + x2* f( e2 )
Or par définition de Imf, Imf est l’ensemble des éléments de la forme f(v).
On peut donc affirmer que tous les éléments de Imf sont de la forme
x1 * f( e1 ) + x2* f( e2 )
Il s’ensuitque tous les éléments de Imf sont une combinaison linéaire de f( e1 ) et f( e2 ).
Il s’ensuit que :
f( e1 ) et f( e2 ) est un ensemble de vecteurs (famille génératrice) qui génère Imf;
f( e1 ) et f( e2 ) sont 2 vecteurs linéairement indépendants de Imf.
Par définition, une famille de vecteurs indépendants qui génèrent un sous-espace vectoriel est appelée une base de ce sous-espace vectoriel.Par conséquent, f( e1 ) et f( e2 ) sont une base de Imf puisqu’ils sont indépendants et qu’ils génèrent Imf. Cette base a 2 éléments, par conséquent la dimension de Imf est 2.

Quel est le sous espace Kerf ?

Par définition, v est un élément de kerf si f(v) = 0; l’ensemble des éléments v de Kerf sont des vecteurs de R2
D’après la question précédente,
f(v) = [pic];
Si f(v) = 0,on peut écrire que
0 = x1 + x2
0 = 2 x1 + 2 x2
0 = 3x1 + x2
La seule solution est x1 = 0; x2 = 0; c’est le vecteur nul de R2. Le seul élément de Kerf est le vecteur nul; la dimension de Kerf est donc zéro; il n’y pas de base de cet ensemble.

Déterminer si les applications suivantes sont linéaires :
a- f(x) = a x2
On cherche à vérifier si f(x1 + x2) est égal à f(x1 ) + f...
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