Correction du problème ouvert : Chapitre 8 Applications à la dérivation
Optimisons une aire
Un architecte doit décider des dimensions de la façade d’un chalet.
Il estime que la partie « utilisable » (pour placer des fenêtres, une porte,…) est un carré de côté 4m.
Pour des raisons esthétiques, la façade est choisie isocèle en son sommet le plus haut.
Où faut-il placer le sommet du toit de façon à obtenir une surface totale de la façade minimale et réduire ainsi les coûts de fabrication du chalet ?
Etape 1 : Modélisation et conjecture avec logiciel de géométrie dynamique
On modélise la situation par le carré ABCD ci-contre, de côté 4 ; I est le milieu du segment [CD] et J est le milieu du segment [AB].
M est un point de la médiatrice du segment [CD], situé « au-dessus » de [CD] .
Les droites (MC) et (MD) coupent la droite (AB) en respectivement E et F.
Il s’agit de minimiser l’aire du triangle MEF.
A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, conjecturer l’aire minimale.

Réponse :
A l’aide du logiciel de géométrie dynamique, on conjecture que l’aire est minimale pour
3,72≤x≤4.30 et vaut, dans ce cas, 32 (m2).
Cet encadrement peut varier d’un élève à un autre (précision contestable en raison d’arrondis du logiciel). Il s’agit à présent d’obtenir une valeur exacte et théorique.
Etape 2 : Reformulation du problème
On pose IM = x, on appelle f la fonction qui à x associe l’aire de MEF.
Déterminer l’expression de f(x).
Répondre à la question en étudiant la fonction f.

Réponse :
Déterminons l’expression de f.
Une méthode parmi d’autres :
Comme IM est une longueur et pour respecter les contrainte de construction du chalet, x>0.
Pour tout x >0 , f(x) = AMFE = 2×AMJE (pour des raisons de symétrie) f(x) = 2×(AMIC + AICBJ + ACBE) or (MI)⊥(IC) et (CB)⊥(BE) par construction du chalet

f (x) = 2×( f (x) = 2×(

+ IC×CB +
+ 2×4 +

) or IM = x, IC =
)=2

x + 16 + 4BE

= 2 CB = 4 (ABCD carré de côté 4 et I milieu de [DC])