Correction td ajustement affine
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Résultat préliminaire On considère une droite (d) qui admet une équation de la forme y ax b dans un repère du plan. Si deux points A1 (x1 ; y1) et A2 (x2 ; y2) appartient à cette droite (d) alors on peut déterminer a et b : y2 y1 et a b y1 ax1 y2 ax 2 x 2 x1 Exercice 1 1)CA en millions d'euros y=3x 78 nuage
75 75
points extrêmes raz 1 Mayer raz 2 moindres carrés raz 3
72
70 70
RAZ
6565
62
60
2005
2006
2007
2008
2009
2010
année
Remarque : les calculs peuvent être considérablement simplifiés si on fait un changement de repère. On choisit comme sur le graphique l'origine des abscisses à 2005 et l'origine des ordonnées à 60. 2) Par la méthode des points extrêmes, la droite d'ajustement est la droite (A 1A6). Il reste à déterminer son coefficient directeur a et son ordonnée à l'origine b . Comme A1 est aussi l'origine du repère, la droite (A1A6) passe par l'origine et donc b calculer a :
0 . On utilise le résultat préliminaire pour
a
y2 x2
y1 x1
15 0 5 0
15 5
3
Ainsi (A1A2) : y
3x . En 2011 (20056), on peut alors déterminer les ventes prévisionnelles :
3 6
18 .
On s'attend ici à 78 millions d’euros de CA en 2011.
3) Par la méthode de Mayer, on sépare le nuage de points en deux sous nuages. D'une part, les points A1, A2 et A3 et d'autre part A4, A5 et A6. Les points moyens respectifs sont G1(x1; y1 ) et
G2 (x 2 ; y2 ) . On ajustera par la droite (G1G2).
x1 x2 1
4
y1
0
2 3
5
7 3
y2
10
12 3
15
37 3
On connaît deux points distincts de la droite (G1G2), on utilise alors le résultat préliminaire :
a
y2 x2
y1 x1
y2 x2
y1 x1
37 7 3 3 4 1
10 3
b
y1
ax1 10 x 3
y1
ax1
7 3
10 1 3
1
Ainsi (G1G2) : y
1 . On peut alors déterminer les ventes prévisionnelles en 2011 :
10 3
6
1
19
On s'attend ici à 79 millions d’euros de CA en 2011. 4) Par la méthode des moindres carrés, on