4 novembre 2019
Correction des exercices « Développements Limités »
Exercice 1 : Formule de Taylor
Soit f une fonction dérivable n fois sur un intervalle I autour de 0. Soit x ∈ I un point proche de 0.
En utilisant la formule de Taylor, exprimer f(x + a) en fonction de f et des ses dérivées successives en a (f(a), f ′(a), etc). On utilisera un terme d’erreur de la forme o(xn), i.e. f(x) = · · ·+ o(xn).
La formule de Taylor dans le cas général est la suivante (généralement appliquée en x mais x est …afficher plus de contenu…

Il faut procéder par étape en commençant par un DL du radical pour l’écrire sous la forme
√
1 + 1 x +
√
1 x = 1 + . . . et trouver le premier terme non
2nul du DL. On commence par se ramener à un DL en 0 en posant X =
√
1 x −−−−→ x→+∞ 0.√
1 +
1
x
+
√
1
x
=
√
1 +X2 +X︸ ︷︷ ︸
=u
= 1 + u 2
+ o(u)
Comme u = X +X2, le terme dominant de u est X et on a donc o(u) = o(X). On peut donc reprendre le DL(0) précédent et écrire :
√
1 +X2 +X = 1 + u 2
+ o(u) = 1 +
X +X2
2
+ o(X) = 1 +
X
2
+ o(X)
En particulier le terme en X2/2 est absorbé dans le o(X) et n’apparaît pas dans l’expression finale. En exprimant tout en fonction de x, on obtient qu’au voisinage de∞,√
1 +
1
x
+
√
1
x
= 1 +
1
2
√
x
+ o
(
1√ x )
D’où on déduit x( √
1 +
1
x
+
√
1
x
− 1) = x
(
1 +
1
2
√
x
+ o
(
1√ x )
− 1
)
=
√
x
2
+ …afficher plus de contenu…

On remarque aussi qu’en substituant y = bx2 dans un DL en 0 à l’ordre 3 en y de (1 + y)−1, on obtient un DL à l’ordre 6 de (1 + bx2)−1, on se contente donc de cet ordre (pour éviter les cacluls inutiles).
7cos(x) = 1− x2
2
+ x4 24
− x6
720
+ o(x6)
(1 + y)−1 = 1− y + y2 − y3 + o(y3)
(1 + bx2)−1 = 1− bx2 + b2x4 − b3x6 + o(x6)
1 + ax2
1 + bx2
= (1 + ax2)(1− bx2 + b2x4 − b3x6 + o(x6))
= 1 + (a− b)x2 + (−ab+ b2)x4 + (ab2 − b3)x6 + o(x6)
D’où on déduit f(x) =
(
1− x2
2
+
x4