Exercices de math´matiques e
HX3 2011-2012
J’ai rassembl´ les plus beaux exercices de TD de cette ann´e suivant certaines r`gles : Je ne garde que ceux qui e e e poss`dent une solution “ originale ” qui n’a pas ´t´ propos´ dans la correction des TD. On trouvera aussi quelques e ee e exercices de d´but d’ann´e qui n’ont jamais ´t´ corrig´s, sauf quelques uns au tableau. e e ee e Le tout est regroup´ par th`mes : Alg`bre g´n´rale (et d´but d’ann´e), Analyse, et Alg`bre lin´aire. Les solutions e e e e e e e e e sont propos´es directement apr`s les ´nonc´s des exercices et ne sont parfois pas assez d´taill´es, je m’en excuse. e e e e e e

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Alg`bre g´n´rale e e e
F(E, E) −→ g −→ F(E, E) f ◦g

Exercice 1 Soit f : E −→ E. On pose : ϕ:

Montrer que ϕ est bijective si et seulement si f l’est. Solution 1 (⇐=) Montrons que ϕ est injective. Soient g, h ∈ F(E, E) telles que ϕ(g) = ϕ(h) i.e f ◦ g = f ◦ h Alors en composant par la r´ciproque de f ` gauche on obtient l’injectivit´. Pour la surjectivit´, si h ∈ F(E, E) on pose e a e e g = f −1 ◦ h et alors ϕ(g) = h. (=⇒) Comme ϕ est surjective, il existe g ∈ F(E, E) telle que f ◦ g = id. Mais on remarque aussi que ϕ(g ◦ f ) = f ◦ g ◦ f = f = ϕ(id) Donc par injectivit´ de ϕ on r´cup`re que g ◦ f = id et donc f est inversible donc bijective. e e e On peut esquiver cette fin de preuve pour quelque chose de plus constructif. En effet, on peut montrer l’injectivit´ de e f directement. Si f n’´tait pas injective il existerait x = x ∈ E tels que f (x) = f (x ). Par ailleurs on a ϕ(id) = f . e On va contredire l’injectivit´ de ϕ en construisant g telle que φ(g) = f avec g diff´rente de l’identit´. Il suffit poser g e e e qui colle a l’identit´ sur E\{x, x } et g(x) = x et g(x ) = x. On a donc contredit l’injectivit´ de ϕ ce qui est absurde, ` e e donc f est injective ! Exercice 2 Soient a, b, c ∈ U tels que a + b + c = 1. Montrer que l’un de ces trois complexes vaut 1. Solution 2 a, b, c sont les racines du polynˆme : o P = (X −