corrigé bac

Pages: 7 (1645 mots) Publié le: 20 février 2014
Corrigé du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie
septembre 2011
E XERCICE 1

5 points

1. Sur 300 personnes, 225 utilisent l’escalier ; p E =

225 3
= . D’où
300 4

1
p(E) = 1 − p E = .
4
Sur les 225 personnes empruntant l’ascenseur la répartition 50, 75, 100 suivant les étages conduit à :
p E (N1 ) =

2
50
= ,
225 9

p E (N2 ) =

3
75
= ,
225 9

p E (N3 ) =

1004
=
225 9

Sur les 75 personnes empruntant l’escalier, on obtient de même :
1
p E (N1 ) = ,
3

2
p E (N2 ) = ,
3

p E (N3 ) =
2
3
1
3

E

0
3
N1

N2

1
4
0
3

2
9
3
4

3
9

E
4
9

N3

N1

N2

N3

1 1
1
× =
.
4 3 12
2
b. Vont au 1er étage : 50 (ascenseur) + 75 × = 50 = 100 personnes ;
3
1
Vont au 2e étage : 75 (ascenseur) + 75 × = 25 =100 personnes ;
3
Vont au 3e étage : 100 (ascenseur) personnes.
Les évènements N1 , N2 , N3 sont bien équiprobables.

2. a. On a p (E ∩ N2 ) = p(E) × p E (N2 ) =

c. Il faut trouver : p N2 (E) =

p (E ∩ N2 )
=
p (N2 )

1
12
1
3

1
= .
4

3. a. Une personne prise au hasard a une probabilité d’aller au 2e étage égale à
1
p (N2 ) = .
3
Les réponses des 20 étant indépendantesles unes des autres, la variable
1
aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres p = et n = 20.
3
b. On a donc :
p(X = 5) =

20
1
×
3
5

5

× 1−

1
3

20−5

= 15504 ×

215
≈ 0,1457.
320

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

c. La moyenne pour les 20 personnes d’aller au 2e étage est égale à l’espérance mathématique de la variable aléatoire X , soit : E(X ) = n × p =1 20
20 × =
≈ 7.
3
3
Un peu moins de 7 personnes sur 20 vont au 2e étage.
1
4. On reprend la variable aléatoire suivant la loi binomiale de probabilité avec
3
n personnes.
n
2
.
Il faut trouver : p(X 1) = 1 − p(X = 0) soit p(X 1) = 1 −
3
La condition est réalisée si :
1−

2
3

n

0, 99 ⇐⇒ 0, 01

2
3

n

⇐⇒ ln 0, 01

(par croissance de la fonction ln) ⇐⇒

Or

nln

ln 0, 01
ln 2
3

2
3

n

ln 0, 01

≈ 11, 3. Il faut donc prendre au minimum 12.
2
ln 3
Conclusion : sur 12 personnes, au moins une va au niveau 2 avec une probabilité supérieure ou égale à 0, 99.
E XERCICE 2

4 points

Partie A
1. En utilisant l’égalité de Chasles avec le point I,
−→ −→


−→ −

→ −→ −


−→ −
− →
MA2 = MA · MA = MI + IA · MI + IA = MI2 + IA2+ 2MI · IA .
−→ −
− →
De même MB2 = MI2 + IB2 + 2MI · IB .
Par somme on obtient :
−→ −
− →
−→ −
− →
MA2 + MB2 = 2MI2 + IA2 + IB2 + 2MI · IA + 2MI · IB =
1
AB2 AB2
−→ − −

→ →
+
+ 2MI · IA + IB = 2MI2 + AB2 .
2MI2 +
4
4
2


=0

2. En utilisant le résultat précédent :
1
1
MA2 + MB2 = AB2 ⇐⇒ 2MI2 + AB2 = AB2 ⇐⇒ 2MI2 = AB2 ⇐⇒
2
2
1
1 2
2
MI = AB ⇐⇒ MI = AB.
4
21
Les points M sont à la distance AB du point fixe I milieu de [AB] : l’ensemble
2
1
(E) est donc la sphère de centre I et de rayon AB.
2
Partie B




1. p (3 ; 4 ; 1) et q (1 ; −2 ; −1) sont des vecteurs normaux respectivement à (P)
et (Q).
→ →


Or p et q ne sont pas colinéaires car leurs cordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les plans ne sont pas parallèles : ilssont sécants en (∆).
a. A appartient à la droite (∆) si et seulement s’il appartient aux deux plans
(P) et (Q).
A(−1 ; 0 ; 4) ∈ P) ⇐⇒ 3 × (−1) + 4 × 0 + 1 × 4 − 1 = 0 : vrai ;
A(−1 ; 0 ; 4) ∈ Q) ⇐⇒ 1 × (−1) − 2 × 0 − 1 × 4 + 5 = 0 : vrai.
Conclusion A est un point de (∆).
Polynésie (enseignement obligatoire)

2

septembre 2011

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

→ →
− −
→ →

−b. On a u · p = 1 × 3 + (−2) × 4 + 5 × 1 = 8 − 8 = 0 : les vecteurs u et p sont
orthogonaux.
→ →
− −
→ →


u · q = 1 × 1 + (−2) × (−2) + 5 × (−1) = 5 − 5 = 0 : les vecteurs u et q sont
orthogonaux .


Donc le vecteur u est un vecteur directeur de la droite (∆) commune aux
deux plans (P) et (Q).
On peut aussi considérer le point C de cordonnées :
(−1 + 1 = 0 ; 0 − 2 = −2 ; 4 + 5...
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