CCP PSI 1 un corrig´ e 1
1.1

Une ´tude de s´ries. e e
Etude de la fonction L. k 1.1 (−1)k−1 x est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle si |x| < 1 et non born´e sinon e e e k (croissances compar´es). Par lemme d’Abel, le rayon de convergence de la s´rie enti`re est ´gal e e e e a ` 1. L est donc d´finie au pire sur ] − 1, 1[ et au mieux sur [−1, 1]. Pour x = 1, il y a convergence e de la s´rie (s´ries de Riemann altern´e ou r`gle sp´ciale, le terme g´n´ral ´tant d´croissant en e e e e e e e e e module, de signe altern´ et de limite nulle). Pour x = −1, la s´rie diverge (s´rie harmonique). e e e Ainsi L est d´finie sur ] − 1, 1] e On reconnaˆ un d´veloppement usuel : ıt e ∀x ∈] − 1, 1[, L(x) = ln(1 + x) 1.2 Soit fn : x → (−1) x . n - Les fn sont des fonctions continues sur [0, 1]. - Pour tout x ∈ [0, 1], fn (x) est le terme g´n´ral d’une suite altern´e, d´croissante en module et e e e e de limite nulle. On peut donc dire que (fn (x)) converge par r`gle sp´ciale ET que e e
+∞
n n

∀n ∈ N , k=n+1 ∗

fk (x) ≤ |fn+1 (x)| ≤

1 n+1

Le majorant est ind´pendant de x ∈ [0, 1] et est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle. e e e (fn ) est donc uniform´ment convergente sur [0, 1] e Par th´or`me de continuit´ des sommes de s´ries de fonctions, e e e e L ∈ C 0 ([0, 1]) En particulier, L(1) = lim L(x) = lim ln(1 + x) = ln(2) x→1− x→1−

1.2

Etude de la s´rie e

1 k

cos

2kπ 3

k≥1

.

2.1 On d´coupe la somme en trois parties selon la congruence modulo 3 de l’indice puis on s’arrange e 1 pour retrouver tous les k :
3p p p−1 p−1

ak = k=1 i=1

a3i + p = − i=1 p

2 + 3i

a3i+1 i=0 p−1 i=0 3p

+ i=0 a3i+2 p−1 1 + 3i + 1 1 k

i=0

1 3i + 2

= −3 i=1 3p

1 + 3i

k=1

= k=p+1 1 k

1

On change alors d’indice (h = k − p) et on factorise :
3p 2p

ak = k=1 h=1

1 1 = p+h p

1 1+ h=1

2p

h p

1 2.2 On fait apparaˆ ıtre une somme de Riemann (d’ordre 2p) associ´e ` ϕ : t → 1+2t