Chapitre 6

Chapitre 6.
Intégration
15
9
–3= .
2
2

Activités et applications

2. A = Ig – If =

1. Intégrale d'une fonction continue et positive

3. a) h(x) = – x2 + x + 2.
On vérifie que les racines de – x2 + x + 2 sont – 1 et 2.
Donc, h(x) = – (x + 1)(x – 2). D’après les règles de signe des polynômes du second degré, h(x) у 0 pour tout x ∈ [– 1 ; 2].
2
2 x3 x2
b)
h(x) dx = –
+
+ 2x
3
2
–1
–1
8 4
–1 1
=– + +4– –
+ –2
3 2
3
2
8
1 3
=– +6–
–
3
3 2
16 36 7 27 9
=–
+
+ =
= .
6
6
6
6
2

Activité. Aire sous la courbe
1. Aire de AB’B : d’aire. Aire de B’OCB :

͵

1
1
AB’ × BB’ =
× 1 × 2 = 1 unité
2
2

2+1
BB’ + OC
× OB’ =
× 4 = 6 unités
2
2

1 2
1
x + 2 – x2 = – x2 + 2
2
2
1
1
= – (x2 – 4) = – (x – 2)(x + 2).
2
2

1. g(x) – f(x) =

͵
͵

1

΄ ΅

1

1

΄

–

΅

1
–1

΃

3. Une unité d’aire du repère ΂O ; ai, aj ΃ représente 4 cm2.

Donc, en cm2, l’aire de Ᏹ est égale à

11
44
×4= .
3
3

Application 2 (STI2D/STL SPCL)
En unités d’aire, l’aire cherchée est égale à

΄ ΅

2

8 –1 9
= –
= = 3.
3
3
3
–1

͵
͵

΄ x2 + 2x΅ = 42 + 2 × 2 – ΂ 12 + 2 × (– 1)΃
1
3 15
= 2 + 4 – ΂ – 2΃ = 6 + = .
2
2
2
–1

͵

΂

Activité. Aire entre deux courbes

2

0

+
+
–

1 2
1
x + 2dx = – x3 + 2x
2
6
–1
1
1
2
=– +2–
–2 =– +4
6
6
6
11
= .
3

g(x) – f(x) dx =

–1

2. Aire d’un domaine compris entre deux courbes

2

–
+
+

0
0

+∞

g(x) – f(x) dx.

͵

͵

2
0

l’ensemble Ᏹ est donnée, en unités d’aire, par

8 – 8 16 x3 2
1.
dx =
= –
= .
3
3
3
3
–2
–2
2. L’aire du domaine Ᏸ est égale à
2
16 32 x2 dx = 16 –
=
unités d’aire.
4×4–
3
3
–2

Ig =

–
–
–

–1

x3
1. If = x2 dx =
3
–1

–2

2. Pour tout x ∈ [– 1 ; 1], g(x) – f(x) > 0, donc l’aire de

Application 2

͵

–∞

x x–2 x+2 g(x) – f(x)

͵

2

΃

Application 1

L’aire du domaine Ᏸ est égale à
31
dx = [ln x]13 = ln 3 – ln 1 = ln 3 unités d’aire.
1 x

͵

΃

On retrouve l’aire du domaine Ᏸ.

Application 1

x2

΅
΂

΂

d’aire.
Aire de AOCB : 1 + 6 = 7 unités d’aire.
2. Notons D’ le point d’abscisse 3 et d’ordonnée 0.
OD’DC est un trapèze dont l’aire est égale à