Lycée Jules Ferry
Interrogation de cours 85(13/05/2022)
Nom : Prénom : 11 mai 2022-FG
Vous répondrez directement sur la feuille. La calculatrice n’est pas autorisée.
1. Donner un exemple de matrice triangulaire supérieure de M3pRq. Par exemple :
¨
˝
1 2 3
0 4 5
0 0 6
˛
‚
2. Donner un exemple de matrice de M4pRq qui n’est pas triangulaire supérieure. Par exemple :
¨
˚
˚
˝
1 2 3 4
5 6 7 8
0 0 9 0
0 0 0 10
˛
‹
‹
‚
3. Ecrire la définition d’une matrice diagonale. Définition 20.62
4. On considère pe1; …afficher plus de contenu…

La famille est donc libre.
(c) Que peut-on en déduire sur f ? L’image d’une base par f est libre, on en déduit que f est injective.
(d) Déterminer le rang de f . Le rang de f est la dimension de son image. Or son image est :
Impfq “ Vectpfpe1q; fpe2q; fpe3qq “ VectpX3 ´X2; X3 ´X; X3 ´ 1q
Elle est donc de rang 3 (puisqu’on a déjà démontré que la famille est libre).
(e) f est-elle surjective ? Non puisque son image est de dimension 3 et R3rXs est de dimension 4.
(f) Démontrer que la famille pX3 ´X2; X3 ´X; X3 ´ 1; X3q est une base de R3rXs. La matrice associée à la famille de vecteurs dans la base p1; X; X2; X3q de R3rXs est la matrice :
B “
¨
˚
˚
˝
0 0 ´1 …afficher plus de contenu…

On commence par déterminer la matrice de g dans la base p1; X; X2; X3q de R3rXs et la base p1, X, X2q de R2rXs. Il s’agit de la matrice :
Mg “
¨
˝
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
˛
‚
La matrice de g ˝ f dans les bases demandées est :
Mg ˆA “
¨
˝
0 ´1 0
´2 0 0
3 3 3
˛
‚
Remarque. On retrouve bien : g ˝ fpe1q “ gpfpe1qq “ gpX3 ´X2q “ 3X2 ´ 2X g ˝ fpe2q “ gpfpe2qq “ gpX3 ´Xq “ 3X2 ´ 1 g ˝ fpe3q “ gpfpe3qq “ gpX3 ´ 1q “ 3X2
(i) g ˝ f est-elle bijective ? le rang de la matrice de g ˝ f est 3 (échelonnement évident) donc elle est bien