LIMITES ET CONTINUITÉ

Afin de mieux comprendre ce chapitre, il est recommandé de relire le cours et les activités de Première sur les limites. I) Rappels sur les limites 1) Limites des fonctions usuelles Les fonctions suivantes tendent vers +∞ lorsque x tend vers +∞ :

ƒ(x) = x

x2

x3

x n (n

1)

x

Les fonctions suivantes tendent vers 0 lorsque x tend vers +∞ : ƒ(x) =

1 x

1 x2

1 x3

1 (n xn

1)

1 x

Les fonctions suivantes tendent vers 0 lorsque x tend vers 0 :

ƒ(x) = x

x2

x3

x n (n

1)

x

sin x

2) Limites de fonctions polynômes

La limite d'une fonction polynôme P est donnée par :
• la limite du terme du plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a.

Exemples :
• • x →+∞ x →2

lim (−3x3 − x + 2) = lim (−3x3) = −3 lim x3 = +∞ car lim x3 = +∞. x →+∞ x →+∞ x →+∞

lim (x2 + 1) = 5.

3) Limites de fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle ƒ est un quotient de deux fonctions polynômes. Sa limite est donnée par :
• la limite du rapport des termes de plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité ƒ(a) si x tend vers a et si ƒ est définie en a.

Une étude plus précise (signes) est à faire si ƒ est définie sur un domaine ouvert dont a est une borne. Exemples :
•
x →+∞

lim

− x 2 + 3x − 1 − x2 −1 = lim = lim 4 = 0. 6 x →+∞ x 6 x →+∞ x x −4

•

x →2

lim

− 3x 3 + 1 −23 . = 20 2x3 + x2 − 3x 3 + 1 lorsque x tend vers 2 par valeurs supérieures : x3 − 2x2 x→ 2 x→ 2

• Étude de la limite de l'expression

Posons N(x) = −3x3 + 1 et D(x) = x3 − 2x2 = x2(x − 2). On a lim+ N(x) = −23 et lim+ D(x) = 0 avec D(x) > 0 lorsque x > 2, donc lim+ x→ 2

− 3x 3 + 1 = −∞. x3 − 2x2 page 1 G. COSTANTINI

Limites et contiuité

• Étude de la limite de l'expression

x2 − x − 2 lorsque x tend vers 2 par valeurs supérieures. x3 − 2x2 x→ 2 x→ 2

Posons N(x) = x2 − x − 2 = (x +1)(x − 2) et D(x) = x3 − 2x2 = x2(x − 2). On a lim+ N(x) = 0 et