Devoir 1 CNED mathématiques - BTS SIO 1ere année

Pages: 6 (1330 mots) Publié le: 17 avril 2015
82930CTPA0113

BTS Service Informatiques aux Organisations

Mathématiques
Première année

Devoir 1
Exercice 1 (Calcul propositionnel) (4,5 points)
1. (0,5 point) La proposition P « l’adresse IP est inconnue ou son masque est inconnu». (Loi de Morgan)
2. (0,5 point) Si l’adresse IP et son masque sont connus alors l’adresse de l’hôte est connue.
3. (0,5 point)

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P Q

Q

P∧Q

0

0

1

00

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

P

Q

P ⇒ Q

P⇒Q

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1/6

4. (0,5 point) Les valeurs logiques des tables de vérité de P ∧ Q et de P ⇒ Q sont les mêmes donc

P∧Q ⇔ P ⇒ Q.
5. Une tautologie est une proposition toujours vraie selon les règles du calcul propositionnel.
a. (0,5 point)
A

A

A∨ A

0

1

1

1

0

1

La proposition A ∨ A est toujoursvraie, il s’agit bien d’une tautologie.
b. (0,5 point) Remplaçons A par P ⇒ Q dans la proposition du 4a. on obtient que

( P ⇒ Q ) ∨ ( P ⇒ Q ) est une tautologie, et comme l’on sait que P ∧ Q ⇔ P ⇒ Q , on en déduit
que P ∧ Q ∨ ( P ⇒ Q ) est encore une tautologie.
c. (1 point)

(P ⇒ Q) ∧ (P ∧ Q)
⇔ P ⇒ Q ∨ P ∧ Q (loi de Morgan)

(

)

⇔ ( P ⇒ Q ) ∨ P ∨ Q (involution et loi de Morgan)
⇔ P∨Q∨ P∨Q

(

) ((définition de ⇒ )

)

⇔ P ∨ P ∨ Q ∨ Q (associativité)
⇔ P ∨ 1(idem potence et tiers exclu)
⇔1
d. La proposition ( P ⇒ Q ) ∧ ( P ∧ Q ) elle une tautologie car elle est toujours vraie d’après c.
(0,5 point)

Exercice 2 (Algèbre de Boole) (5 points)
1.

cab (0,25 point)

2.

a + c signifie, ici, « voyager en train ou seul ». (0,25 point)

3. bc + ab + ba + bc + abc (0,5 point)
4.

( )

bc + ab+ ba+ bc + abc = bc + a b+ b + bc + abc = bc + a.1+ bc + abc = bc + a + bc + abc (1 point)

5. (0,75 point)
bc

00

01

11

10

a

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0

1

1

1

1
1

1

1

2/6

6. (0,5 point)
Il est possible de réaliser deux regroupements de quatre « 1 »
les quatre « 1 » en caractères gras correspondent à a
les quatre « 1 » en caractères non italiques correspondent à c
Ce qui conduit à l’expressionbooléenne simplifiée a+ c
7. (1 point)

bc + a + bc + abc

(

)

= a + c b + b + abc (distributivité)
= a + c.1 + abc

(tiers-exclus)

= a + c + abc

(1 élément neutre de la multiplication booléenne)

(

= a + c 1 + ab

)

(distributivité)

= a + c.1 (1 est un élément absorbant)
= a+c

(1 élément neutre de la multiplication booléenne)

8. a. (0,5 point)

bc + a + bc + abc = a + c (d'après les deuxquestions précédentes)
= a.c

(loi de Morgan)

= a.c

(involution)

b. (0,25 point)
Le contraire de ce qui est possible pour le prochain voyage d’affaire de M.Paul se résume par cette phrase
« voyager en train avec l’associé », donc l’assistante de M.Paul avait bien résumé la situation.
Exercice 3 (généralités sur les suites numériques) (10,5 points)
Partie A (3,75 points)
1. (0,25 point +0,25 point)25 × 9 + 50 275
=
= 13, 75
2×9 + 2
20
25 ×10 + 50 300
U10 =
=
≈ 13, 636
2 ×10 + 2
22
U9 =

2. (0,5 point)
Pour tout x de [0; +∞[ , on a : f '( x) =

25 ( 2 x + 2 ) − 2 ( 25 x + 50 )

( 2x + 2)

2

=

50 x + 50 − 50 x − 100

(2x + 2)

2

=

−50

(2x + 2)

2

3. (0,75 point)
Pour tout x de [0; +∞[ , on a -50<0 et

1

( 2x + 2)

2

> 0 donc le signe du produit de -50 par

1

( 2x + 2)
négatif. Ainsipour tout x de [0; +∞[ , f '( x) <0 donc la fonction f est décroissante sur [0; +∞[ .

2

est

De plus Un=f(n) donc la suite de terme général Un sera aussi décroissante. (Théorème page 152)

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3/6

4. (0,5 point)
La suite de terme général Un est décroissante, donc elle est majorée par son premier terme U0 qui vaut bien
25.
5. (0,5 point)
Pour tout entier naturel n,

25n + 50 − 12,5 ( 2n+ 2 ) 25n + 50 − 25n − 25
25n + 50
25
− 12,5 =
=
=
2n + 2
2n + 2
2n + 2
2n + 2
n ≥ 0 donc 2n ≥ 0 mais aussi 2n+2 ≥ 0
Un-12,5=

donc Un-12,5>0
6. (0,5 point)
Pour tout entier naturel n, on a démontré que Un-12,5>0 c'est-à-dire que Un>12,5
en d’autres termes, la suite de terme général Un est minorée par 12,5
de plus, d’après 4) elle est majorée par 25, elle est donc bornée.
7. (0,5 point)
Un<14...
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