Dans le triangle AIQ, rectangle en I, on a d’après le théorème de Pythagore : AQ² = AI² + QI² = 8² + 4² = 64 + 16 = 80 Donc AQ = 4 5 Comme (AO) est la bissectrice de l’angle BÂC, on en déduit que OÂI = Dans le triangle AIQ, rectangle en I, on a : ( on note  l’angle BÂC ) Sin  

 . Ainsi : 2

Â QI =   2  QA Â AI =   2  QA

soit Sin   = 2 4 5  

Â

4

ou

Sin  

Â 1 =  5 2 Â 2 =  5 2

Cos  

soit Cos   = 2 4 5  

Â

8

ou

Cos  

On en déduit : Sin(Â) = Sin  2 × 

 

Â Â Â  = 2 Sin   Cos   ( Car Sin(2x) = 2Sin(x)Cos(x) ) 2 2 2     

= 2× =

1 2 × 5 5

4 5

Cos(Â) = Cos  2 × 

 

Â Â  = 2 Cos²   – 1 2 2     2  = 2×   –1  5 8 = −1 5 3 = 5
2

( Car Cos(2x) = 2Cos²(x) – 1 )

Conclusion : Sin(Â) =

4 3 et Cos(Â) = 5 5

Vous appliquez la même méthode pour calculer le cosinus et le sinus de l’angle B. On doit trouver Sin( B ) =

12 5 et Cos( B ) = 13 13

Pour finir : cos( C ) = Cos( π – (A + B )) ( La somme des angles d’un triangle vaut π rad ) = - Cos ( A + B ) car pour tout nombre x, Cos( π – x ) = - Cos(x)

Même méthode pour calculer Sin ( C ) en utilisant cette fois la relation pour tout nombre x, Sin( π – x ) = Sin(x) Puis vous écrirez que : cos( C ) =- Cos ( A + B ) = - ( Cos( A ) Cos( B ) – Sin (A ) Sin( B) )

Pour obtenir sa valeur, il vous suffit de remplacer par les valeurs que vous avez calculées. Même méthode pour le Sinus. On doit trouver Sin( C ) =

56 33 et Cos( C ) = 65 65

Enfin , une méthode pour calculer par exemple BC : On construit dans le triangle ABC la hauteur issue de B, qu’on nommera (BH).

C H

A 10

B

Dans le triangle AHB, rectangle en H on a : Sin(A) =

HB 4 HB c'est-à-dire = (1) AB 5 14 HB 56 HB c'est-à-dire = (2) BC 65 CB

Dans le triangle CHB rectangle en H, on a : Sin(C) =

(1) nous donne HB =

56 5
65 × HB = 56 65 × 56 5 = 13 × 56 = 13 cm 56 56

(2) nous