Dm de math

Pages: 5 (1041 mots) Publié le: 30 janvier 2011
1) On prend un point M du plan tel que |OM|=1 . Dan un repère (O, i, j) le vecteur OM fait un angle a avec l’axe oj . Les coordonnées de M sont {x=Cos{a); y=Sin{a}). Le lieu de M qui est un cercle satisfait la relation Cos(a)^2+Sin(a)^2=1 et x^2+y2=1 est l’équation de ce cercle.+ Lorraine .

2)
a/ Graphique. Voir Lorraine.On te demande de justifier géométriquement l'équation(x-3)^2+(y-1}^2=4Soit un point O{-3, -1} et un point M{x, y} on a OM^2=(x-3)^2+(y-1)^2. L'ensemble des point M distants de 2 unités de M est le cercle de centre O et de rayon OM=2 ==> OM^2=4=(x-3)^2+(y-1)^2 est donc l'équation analytique du cercle de centre O et de rayon OM.

b/ Omega{3,1} est le centre du cercle d’équation {x-3}^2+(y-1}^2=4 de rayon R= 2.Éléments caractéristiques du cercle :-intersection du cercle avec l’axe des x : solution de l’équation (y-1)²=4 ==> (y-1)²-2²=0 ==> (y-3)*(y+1) ==> y=-1 et y=3-intersection du cercle avec l’axe des y : solution de l’équation (x-3)²=4 ==> (x-3)²-2²=0 ==> (x-1)*(x-5) x=1 et x=5c/ équation développé de C :
x²+y²-6*x-2*y+6=0
l'équation du cercle est (x-3)²+(y-1)²=4Cela signifie que le centre du cercle a pour coordonnées {3,1} etpour rayon 2 puisque l'équation générale d'un cercle de centre {a,b} et de rayon r a pour expression (x-a)²+(y-b)²=r²l'intersection du cercle avec l'es axes x et y elles s'obtiennent en résolvant les équations obtenues en introduisant la condition x=0 puis y =0 dans l'équation du cercle. Si on introduit x=0 dans l'équation du cercle on obtient alors les coordonnées de l'intersection du cercle avecl'axe des y ==> (0-3)²+(y-1)²=4 ==> (y-1)²=-5 pas de solution et le cercle ne coupe pas l'axe des y. Si on introduit y=0 dans l'équation du cercle on obtient alors les coordonnées de l'intersection du cercle avec l'axe des x ==> (x-3)²+(0-1)²=4 ==> (x-3)²=3 ==> x=3-racine de 3 et x=3+racine de 3. Et voici le résultat :

3) a/ x²+2*x+y²-4*y-12 =x²+2*x+1+y²-4*y+4-17=(x+1)²+(y-2)²=17Donc Cercle de centre {-1,2} et de rayon racine de17 b/

4/ Point communs de C’ et C1 solution de l’équation : x²+y²-6*x-2*y+6=x²+2*x+y²-4*y-12 ==> y=4*x-9 solution que l’on reporte dans l’équation d’un des deux cercles C’ par exemple ==> 17*x²-86*x+105=0 ==> x=35/17 ; et x=3, valeurs que l’on reporte dans l’équation y(x)=4*x-9 pour obtenir les coordonnées des points d’intersection.y(35/17)=-5/17 et y(3)=3. Donc les point d’intersection de C et C’ sont {37,17; -5,17} et {3, 3}Représenter ces point d’intersection dans shéma!

5a
Tout cercle concentrique à C1 a pour équation (x+1)²+(y-2)²=r²Celui qui passe par {0,0} est tel que r²=5 et son équation est :(x+1)²+(y-2)²=55bL'équation réduite d'une droite a pour expression y=m*x+b où m et b sont des constantes. Les droites quipassent par B{0,9} ont pour équation 9=m*0+b ==> y=m*x+95cLes coordonnées des points communs à C2 et la droite d'équation y=2*x+9 sont solutions du système d'équation :(x+1)²+(y-2)²=5y=2*x+9-----(x+1)²+(2*x+9-2)²=5 ==> (x+1)²+(2*x+7)²=5 ==>x²+6*x+9=0 ==> (x+3)²=0 ==> x=3 et y=-3Un seul point de contact et la droite y=2*x+9 est tangente à C2 en {-3,3}5dSoit M{x,y} le point detangence d'une droite y=m*x+9 avec le cercle C2 de centre D{-1,2}Les vecteurs DM{x+1, y-2} et BM{x,y-9} sont donc orthogonaux ce qui signifie que le produit de leurs coefficients directeur vaut -1 soit (-(y-2)/(x+1))*(-(y-9)/x)=-1 ==>(y-2)*(y-9)+x*(x+1)=0 ==> x²+x+y²-11 y+18=0 M appartient au cercle C2 ==> x²+2 x+y²-4 y=0et x et y sont donc solutions du système d'équation :x²+x+y²-11 y+18=0(équation b)x²+2 x+y²-4 y=0 (équation a)---------------------b-a ==>x=18-7*y que l'on reporte dans l'équation de C2 (x+1)²+(y-2)²=5 ==>(19-7*y)²+(y-2)²-5=0 ==> 50*y²-270*y+360=0 ==>5*y²-27*y+36=0 polynôme du second degré qui admet deux racines y=12/5 et y=3Ces valeurs reportées dans l'équation de C2 conduisent à x=-3 et x=6/5Pour le point de tangence {-3,3} on obtient 3=-3*m+9 ==>m=2...
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