fonction expoentielle

Pages: 2 (291 mots) Publié le: 9 décembre 2014
EXO 1 DM
1. f′(x)=e2x+2(x−1)e2x−1=(2x–1)e2x–1
f′(0)=−1–1=−2
limx→+∞(2×−1)=+∞  limx→+∞e2x=+∞
Donc limx→+∞f′(x)=+∞
 
2.f»(x)=2e2x+2(2×−1)e2x =4xe2x.
 
3. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout x≥0 on f»(x)≥0.
Cela signifie donc que la fonction est f′ est continue(car dérivable) et strictement croissante sur [0;+∞[.
De plus f′(0)=−1–1=−2 et limx→+∞f′(x)=∞. 0∈]−2;+∞[.
D’après le théorème de la bijection (ou lecorollaire des valeurs intermédiaires), l’équation f′(x)=0 possède une unique solution x0.
 
4. a. On en déduit donc que :
–sur [0;x0] ,f′(x)≤0 donc f est décroissante
– sur [x0;+∞[, f′(x)≥0 donc f est croissante
 
f(0)=−2. Or f est décroissante sur [0,x0].
Par conséquent, pour tout x∈[0,x0], f(x)0
 
Surl’intervalle [x0;+∞[, f est continue et strictement croissante.
f(x0)0.
0∈[f(x0);f(2)]
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire des valeursintermédiaires), l’équation f(x)=0 admet donc une unique solution sur [x0;+∞[.
 
D’après la question précédente, on sait que, pour tout x∈[0;x0], f(x)0.
Ona un+1=f(un)=une−un.
La fonction exponentielle est toujours strictement positive.
Un produit de nombre strictement positif est strictement positif.
Parconséquent un+1>0.
$\quad
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang n, elle est encore vraie au rang suivant.
Parconséquent, pour tout entier naturel n on a un>0.

3. un+1–un  =un-u_n–un =un(e−un–1).
D’après la question précédente, un>0 donc e−un−1
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Fonctions
  • les fonctions
  • Fonction
  • Fonctions
  • Fonction
  • Fonction
  • fonctions
  • Fonctions

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !