fonctions circulaires
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FONCTIONS CIRCULAIRESSont appelées fonctions circulaires les fonctions liées au cercle trigonométrique, à savoir notamment les fonctions sinus, cosinus et tangente.
Rappelons une façon de définir ces trois fonctions :
H
Si H est l'intersection de la tangente au
RAPPELS
cercle en I avec la droite orientée (OM)
J sin x
alors tan x = IH .
–1 cos x 1
tan x
M
–1 sin x 1 cos(–x) = cos x
Cette définition prolonge celle déjà connue x dans le triangle rectangle. En effet, lorsque x est une mesure d'un angle aigu, on a dans
O
cos x
I
le triangle OIH rectangle en I : tan x =
(la fonction cosinus est paire) sin(–x) = –sin x
(la fonction sinus est impaire)
IH
IH
=
= IH
OI
1
J'
Exercice : par un raisonnement géométrique, démontrer que : sin x x tan x pour tout x Î [0 ;
p
[.
2
I) Fonction périodique
Définition : Soit ¦ une fonction définie sur un domaine D¦ et T un nombre réel non nul. On dit que ¦ est périodique de période T (ou T–périodique) si : pour tout réel x Î D¦, x + T Î D¦ et ¦(x + T) = ¦(x)
Exemples : les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions 2p–périodiques définies sur . Cela se traduit par les relations : cos(x + 2p) = cos x et sin(x + 2p) = sin x pour tout réel x.
Intérêt : dès qu'une fonction T–périodique est connue sur un intervalle de longueur T, alors elle est connue sur
®
tout son ensemble de définition. Il suffit de compléter la courbe par translation de vecteur k T i (k Î ). Pour étudier (ou tracer) une fonction périodique, on se limite donc à une période.
Notons que si T est une période, tout multiple de T en est une autre :
... = ¦(x + 2T) = ¦(x + T) = ¦(x) = ¦(x – T) = ¦(x – 2T) = ...
Application : calculer cos(73p). Puisque 2p est une période de la fonction cosinus, 36´2p = 72p en est une également, on a donc cos(73p) = cos(p + 72p) = cos(p) = –1.
Méthode pour trouver la période d'une fonction trigonométrique :
Commençons par un