Exercice 2 A. Loi normale

1. Calcul de P (9,5 ≤ X ≤ 10,5)

La variable aléatoire Xsuit la loi normale N ( 10 ; 0,21 ), la variable aléatoire T = X − 10 0,21 centrée réduite . Si X=9,5 alors T = 9, 5 − 10 =− 0,5

suit la loi normale 0,21

Si X=10,5 alors T = 10, 5 − 10 0,21 0,21 ≃ −2,38.

= 0,5 0,21 ≃ 2,38. P (9, 5 ≤ X ≤ 10, 5) =P(−2,38≤T ≤2,38) = 2π (2,38) − 1 ≃2×0,9913−1 ≃ 0,983 donc P (9, 5 ≤ X ≤ 10, 5) ≃ 0, 983

2. Probabilité qu’une pièce soit conforme On demande le calcul de p = P [(9,5 ≤ X ≤ 10,5) ∩ (10,5 ≤ Y ≤ 11,5)] Comme les variables X et Y sont indépendantes, on en déduit que: p = P (9, 5 ≤ X ≤ 10, 5)×P (10, 5 ≤ Y ≤ Il s’en suit que: p = 0, 983 × 0, 985 ≃ 0, 968 B. Loi binomiale et loi de Poisson 1. Loi suivie par Z. Soit l’épreuve: on prélève une pièce dans le stock et on vérifie si elle est défectueuse.    ⋆on répète 50 fois cette épreuve.   ⋆les épreuves sont indépendantes.(tirage avec remise)
11,5)
  ⋆chaque épreuve a 2 issues : défectueuse avec p=0,03  ou non défectueuse avec q=1-0,03=0,97 2. Calcul de P (Z = 0) et P (Z ≤ 2). p(Z = 0) = C50(0, 03)0 × (0, 97)50 ≃ 0, 218 p(Z ≤ 2) = p(Z = 0) + p(Z = 1) + p(Z = 2) donc Z suit la loi binomiale B(50; 0, 03).

=C50(0,03)0 ×(0,97)50 +C50(0,03)1 ×(0,97)49 +C50(0,03)2 ×(0,97)48 = 0,218 + 0,337 + 0,255 ≃ 0,810

3. a. Paramètre de la loi de Poisson. La loi de Poisson aura pour paramètre: λ = np donc λ = 50 × 0, 03 = 1, 5 b. Probabilité qu’au plus deux pièces soient défectueuses. On