Feuille de cours 1

SVE 101

2010/2011

Formulaire pour le calcul int´ egral. 1

D´ eriv´ ees des fonctions usuelles.
Fonction f (x)

D´eriv´ee f (x)

Domaine

k

0

I=R

x

1

I=R

xn

nxn−1

I = R et n ∈ N − {0}

1 xn 1 x −n xn+1 −1 x2 I = R∗ et n ∈ N − {1}

xα

αxα−1

I =]0, +∞[ et α ∈ R − {−1}

√

1
√
2 x
1
x

x

ln(x)

2

I =]0, +∞[

I =]0, +∞[
I =]0, +∞[

ex

ex

I=R

cos(x)

− sin(x)

I=R

sin(x)

cos(x)

I=R

tan(x)

1
= 1 + tan2 (x) cos2 (x)

I =] − π/2, π/2[

Op´ erations sur les d´ eriv´ ees.
Fonction f (x)

D´eriv´ee f (x)

f (x) = u(x)v(x)

f (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x)

1 u(x) u(x) f (x) = v(x) u (x) u2 (x) u (x)v(x) − u(x)v (x) f (x) = v 2 (x)

f (x) = u ◦ v(x) = u(v(x))

f (x) = v (x) × u ◦ v(x) = v (x) × u (v(x))

f (x) =

f (x) =

u(x)

f (x) = −

f (x) =

u (x)

u(x) u (x) f (x) = u(x) f (x) = ln(u(x))

2

f (x) = eu(x)

f (x) = u (x)eu(x)

f (x) = un (x)

f (x) = nu (x)un−1 (x)

1

Domaine

u=0 v=0 u≥0 u>0 u≥0

3

Primitives des fonctions usuelles.
Fonction f (x)

Primitives F (x)

Domaine

k

kx + c

I=R

2

x
+c
2 n+1 x
+c
n+1
−1
1
+c
n−1 n−1x x xn 1 xn 1 x I = R et n ∈ N − {0}
I = R∗ et n ∈ N − {1}

ln(x) + c

I =]0, +∞[

α+1

x
+c
α+1
√
2 x+c

xα
1
√ x 4

I=R

I =]0, +∞[ et α ∈ R − {−1}
I =]0, +∞[

ex

ex + c

I=R

cos(x)

sin(x) + c

I=R

sin(x)

− cos(x) + c

I=R

1
= 1 + tan2 (x) cos2 (x)

tan(x) + c

I =] − π/2, π/2[

Primitives des fonctions compos´ ees. Formule de base avec des fonctions f et u et F primitive de f : (F (u (x))) = u (x) f (u (x)) .
Fonction f (x)

Domaine

1
G(ax + b) + c a un+1 (x)
+c
n+1

g(ax + b) u (x)un (x)

R
R et n ∈ N∗

u (x) u(x) ln(|u(x)|) + c

o` uu=0 u (x)uα (x)

uα+1 (x)
+c
α+1

o` u u = 0 et α ∈ R − {−1}

u (x)

2

u(x)

5

Primitives F (x)

u(x) + c

o` uu>0 u (x)eu(x)

eu(x) + c

R

u (x) cos(u(x))

sin(u(x)) + c

R

u (x) sin(u(x))

− cos(u(x)) + c

R

Int´ egration par parties.

Formule d’int´ egration par parties. b a

b

b

u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]a −

u(x)v (x)dx. a Formule de