geometrie

QUELQUES EXERCICES DE GÉOMÉTRIE
Dans les deux premiers exercices sont proposés des démonstrations de géométrie pur de résultats classiques
1. n Droite d’Euler
On considère un triangle ABC, montrer l’alignement de l’orthocentre H, du centre de gravité G et du centre O du cercle circonscrit au triangle ABC.
On pourra considérer le point D diamétralement opposé au point B, et B’ le milieu de [AC].2. n Symétrique de l’orthocentre
On considère un triangle ABC. Soit O le centre du cercle C circonscrit à ABC et H son orthocentre.
On se propose de démontrer que les symétriques du point H par rapport aux côtés du triangle sont sur C.
1) Le point D étant diamétralement opposé à A sur le cercle C, réaliser une figure.
2) Montrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles, ainsi que les droites(BD) et (CH).
3) Quelle est la nature du quadrilatère BHCD ? En déduire que [BC] et [HD] ont même milieu.
4) Soit H’ le symétrique de H par rapport à (BC). Montrer que le triangle HH’D est rectangle en H’.
5) En déduire que H’ est un point du cercle C.
6) Justifier alors que le résultat énoncé plus haut est démontré.
3. n Droite et cercle d’Euler, ... par les vecteurs
Soit un triangle ABC nonrectangle,
O le centre et r le rayon de son cercle circonscrit C,
A’, B’ et C’ les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB].
1) On considère le point H défini par
a) Montrer que
b) En déduire que (AH) ^ (BC) et (BH) ^ (CA).
Que représente alors le point H ?
2) On désigne par I, J et K les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH].
Montrer que les segments [OH], [IA’], [JB’] et [KC’] ont le même milieuW.
3) Montrer que :

En déduire que les points I, J et K sont éléments du cercle C ’ de centre W et de rayon r.
4) Montrer que :

En déduire que les points A’, B’ et C’ sont éléments du cercle C’.
5) On désigne par A1, B1 et C1 les pieds sur (BC), (CA) et (AB) des hauteurs du triangle ABC.
Montrer que les points A1, B1 et C1 sont éléments du cercle C ‘.
6) Soit G le centre de gravité du triangleABC. Montrer que les points O, G et H sont alignés.
7) Les résultats précédents sont-ils vérifiés lorsque le triangle ABC est rectangle ? Faire par exemple une figure avec le triangle ABC rectangle en A.
Que dire des points O, G, H et W lorsque le triangle est équilatéral ?
Le cercle C ’ est appelé cercle d’Euler du triangle ABC.
Lorsque le triangle ABC n’est pas équilatéral, la droite (OH) estappelée droite d’Euler du triangle ABC.



4. n Droite d’Euler et transformation
Soit ABC un triangle. On appelle A’ le milieu de [BC], B’ le milieu de [AC] et C’ le milieu de [AB].
Par quelle homothétie passe-t-on du triangle ABC au triangle A’B’C’ ?
En déduire l’alignement des trois points O, G et H (notations de l’exercice 1)

Quelques configurations
5. n Théorème de Ménéalaüs
Soit ABC untriangle non aplati et D une droite qui coupe respectivement (BC), (CA) et (AB) en P, Q, R distinct des sommets.
Utiliser la parallèle à D en B pour établir la relation de Ménélaüs :
.
Démontrer la réciproque.

6. n Théorème de Céva
Si ABC est un triangle non aplati, et si P, Q, S sont des points respectivement situés sur (BC), (CA) et (AB), en dehors des sommets, alors les droites (AP), (BQ) et (CR)sont concourantes ou parallèles si et seulement si on a :


Utilisation simple des transformations
7. n Sur la figure ci-dessous, ABCD est un carré et JA = AB = BI.
Démontrer que JOI est un triangle rectangle isocèle.


8. n ABCD est un carré. CBF et ABE sont des triangles équilatéraux disposés comme l’indique la figure ci-dessous.
Montrer que les points D, E et F sont alignés.

9. n ABC est untriangle quelconque. Sur le côté [AB], extérieurement à ce côté, on construit un triangle équilatéral ABM. Sur le côté [AC], extérieurement à ce côté, on construit un triangle équilatéral ACN.
Montrer que MC = BN et

10. n ABC est un triangle équilatéral direct de centre O. On construit, extérieurement à celui-ci, les trois carrés ABIJ, AKLC et BCMN de centres respectifs D, E et F.
On considère...