geometrie
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QUELQUES EXERCICES DE GÉOMÉTRIEDans les deux premiers exercices sont proposés des démonstrations de géométrie pur de résultats classiques
1. n Droite d’Euler
On considère un triangle ABC, montrer l’alignement de l’orthocentre H, du centre de gravité G et du centre O du cercle circonscrit au triangle ABC.
On pourra considérer le point D diamétralement opposé au point B, et B’ le milieu de [AC].
2. n Symétrique de l’orthocentre
On considère un triangle ABC. Soit O le centre du cercle C circonscrit à ABC et H son orthocentre.
On se propose de démontrer que les symétriques du point H par rapport aux côtés du triangle sont sur C.
1) Le point D étant diamétralement opposé à A sur le cercle C, réaliser une figure.
2) Montrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles, ainsi que les droites (BD) et (CH).
3) Quelle est la nature du quadrilatère BHCD ? En déduire que [BC] et [HD] ont même milieu.
4) Soit H’ le symétrique de H par rapport à (BC). Montrer que le triangle HH’D est rectangle en H’.
5) En déduire que H’ est un point du cercle C.
6) Justifier alors que le résultat énoncé plus haut est démontré.
3. n Droite et cercle d’Euler, ... par les vecteurs
Soit un triangle ABC non rectangle, O le centre et r le rayon de son cercle circonscrit C, A’, B’ et C’ les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB].
1) On considère le point H défini par
a) Montrer que
b) En déduire que (AH) ^ (BC) et (BH) ^ (CA).
Que représente alors le point H ?
2) On désigne par I, J et K les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH].
Montrer que les segments [OH], [IA’], [JB’] et [KC’] ont le même milieu W.
3) Montrer que :
En déduire que les points I, J et K sont éléments du cercle C ’ de centre W et de rayon r.
4) Montrer que :
En déduire que les points A’, B’ et C’ sont éléments du cercle C’.
5) On désigne par A1, B1 et C1 les pieds sur (BC), (CA) et (AB) des hauteurs du triangle ABC.
Montrer que les points A1, B1 et C1 sont éléments du cercle C ‘.
6) Soit G le centre de gravité du triangle