Exercices - Formules de Taylor : ´nonc´ e e
Exercice 1 - Un encadrement de cos(1/2) - L1/Math Sup Soit a > 0.
1. D´montrer que e cos a − 1 +

a5 a2 a4
≤ .
−
2!
4!
5!

2. En d´duire que e 337
1
337
1
−
≤ cos(1/2) ≤
+
.
384 3840
384 3840

Exercice 2 - In´galit´ - L1/Math Sup e e D´montrer que pour tout x ∈ [0; +∞[ : e 1−

x 2x2
1
x 2x2 14x3
≤1− +
+
−
≤ √
.
3
3
9
81
3
9
1+x

Exercice 3 - Valeur approch´e de ln(1, 003) - L1/Math Sup e
Soit x un r´el strictement positif. En utilisant une formule de Taylor, montrer que l’on a : e ln(1 + x) − x +

x2 x3 ≤
.
2
3

En d´duire une valeur approch´e de ln(1, 003) ` 10−8 pr`s. e e a e

Exercice 4 - Valeur approch´e subtile... - L1/Math Sup e
D´montrer que e e− 1+1+

1
1
1
+ + ··· +
2! 3!
8!

≤

3
.
9!

En d´duire une valeur approch´e de e a 10−5 pr`s. e e
`
e

Exercice 5 - In´galit´s de Kolmogorov - L1/Math Sup e e Soit f une fonction d´finie sur R, de classe C 2 . On suppose que f et f sont born´es, et l’on e e pose :
M0 = sup |f (x)|, M2 = sup |f (x)| x∈R x∈R

(M0 et M2 sont donc des nombres r´els tels que, pour tout x r´el, on a |f (x)| ≤ M0 et |f (x)| ≤ e e
M2 ). Le but de cet exercice est de prouver que f est born´e, et de majorer M1 = supx∈R |f (x)| e en fonction de M0 et M2 . Soit x ∈ R, et h > 0.
1. Appliquer la formule de Taylor-Lagrange ` f entre x et x + h ` l’ordre 2. a a
2. En d´duire l’in´galit´ : e e e |f (x)| ≤

2M0 hM2
+
. h 2

En particulier, si on choisit h = 1, on obtient |f (x)| ≤ 2M0 + M2 pour tout x de R, ce qui
2
prouve que f est born´e, avec M1 ≤ 2M0 + M2 . On se propose de trouver une meilleure e 2 majoration :
3. Etudier la fonction h →

http://www.bibmath.net

2M0 h +

hM2
2

sur ]0, +∞[.
1

Exercices - Formules de Taylor : ´nonc´ e e
√
4. En d´duire M1 ≤ 2 M0 M2 . e Exercice 6 - Limite d’une suite - L1/Math Sup On consid`re la suite (un ) d´finie