Calcul d’intégrales - Intégration par parties

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CHAPITRE 17 : CALCUL D’INTEGRALES INTEGRATION PAR PARTIES
Dans ce cours, nous disposons de trois techniques de calcul d’intégrales :
1) primitivation par lecture directe dans une table
2) par transformations d’écriture
3) par intégration par parties

1. Primitivation par lecture directe dans une table

Exemple calculer l’intégrale I = ∫

π/4

0

sin x dx cos 2 x

sin x
 π
On note f la fonction définie sur  0,  par f : x a cos 2 x
 4

 π
La fonction f est continue sur  0,  et l’intégrale I existe.
 4 u '( x)
 π avec u ( x) = cos x et donc u '( x) = − sin x
Pour tout x ∈  0,  , f ( x) = − 2 u ( x)
 4

1
1
 π
 π
=
est une primitive de f sur  0, 
La fonction F définie sur  0,  par F ( x) = u ( x) cos x
 4
 4 π/4  1  et donc I = 
= 2 −1
 cos x  0

Finalement :
I =∫

π/ 4

0

sin x dx = 2 − 1 cos 2 x

© Gérard Hirsch – Maths54

1

Calcul d’intégrales - Intégration par parties

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2. Transformations d’écriture
Dans ce cours , la transformation est toujours indiquée

Exemple calculer l’intégrale I = ∫

x+3 dx x −x−2

1

2

0

Après avoir justifié l’existence de l’intégrale, on cherchera deux réels a et b vérifiant, pour tout x dans [ 0,1 ] ,

•

x+3 a b
=
+ x − x − 2 x − 2 x +1
2

Existence de l’intégrale :

Les racines du dénominateur 2 et − 1 n’appartenant pas à l’intervalle [ 0,1 ] , la fonction f :xa

•

x+3 est continue sur [ 0,1 ] et l’intégrale I existe. x −x−2
2

Transformation d’écriture

pour tout x ∈ [ 0,1 ]

a b (a + b) x + a − 2b
+
= x − 2 x +1 x2 − x − 2

En identifiant les coefficients du numérateur, on obtient le système

 a +b =1

 a − 2b = 3 qui admet l’unique solution a =
On a donc pour tout x ∈ [ 0,1 ]
•

I=

5
3

5
2
et b = −
3
3 x+3 5 1
2 1
=
− x − x − 2 3 x − 2 3 x +1
2

Calcul de l’intégrale :

∫