integrale

Pages: 4 (990 mots) Publié le: 16 février 2014
Calcul d’intégrales - Intégration par parties

Cours

CHAPITRE 17 : CALCUL D’INTEGRALES INTEGRATION PAR PARTIES
Dans ce cours, nous disposons de trois techniques de calcul d’intégrales :
1)primitivation par lecture directe dans une table
2) par transformations d’écriture
3) par intégration par parties

1. Primitivation par lecture directe dans une table

Exemple
calculer l’intégraleI = ∫

π/4

0

sin x
dx
cos 2 x

sin x
 π
On note f la fonction définie sur  0,  par f : x a
cos 2 x
 4

 π
La fonction f est continue sur  0,  et l’intégrale I existe.
4
u '( x)
 π
avec u ( x) = cos x et donc u '( x) = − sin x
Pour tout x ∈  0,  , f ( x) = − 2
u ( x)
 4

1
1
 π
 π
=
est une primitive de f sur  0, 
La fonction F définie sur 0,  par F ( x) =
u ( x) cos x
 4
 4
π/4

 1 
et donc I = 
= 2 −1
 cos x  0

Finalement :
I =∫

π/ 4

0

sin x
dx = 2 − 1
cos 2 x

© Gérard Hirsch – Maths54

1 Calcul d’intégrales - Intégration par parties

Cours

2. Transformations d’écriture
Dans ce cours , la transformation est toujours indiquée

Exemple
calculer l’intégrale I = ∫

x+3
dx
x−x−2

1

2

0

Après avoir justifié l’existence de l’intégrale, on cherchera deux réels a et b vérifiant,
pour tout x dans [ 0,1 ] ,



x+3
a
b
=
+
x − x − 2 x − 2 x +1
2

Existencede l’intégrale :

Les racines du dénominateur 2 et − 1 n’appartenant pas à l’intervalle [ 0,1 ] , la fonction
f :xa



x+3
est continue sur [ 0,1 ] et l’intégrale I existe.
x −x−2
2Transformation d’écriture

pour tout x ∈ [ 0,1 ]

a
b
(a + b) x + a − 2b
+
=
x − 2 x +1
x2 − x − 2

En identifiant les coefficients du numérateur, on obtient le système

 a +b =1

 a −2b = 3
qui admet l’unique solution a =
On a donc pour tout x ∈ [ 0,1 ]


I=

5
3

5
2
et b = −
3
3
x+3
5 1
2 1
=

x − x − 2 3 x − 2 3 x +1
2

Calcul de l’intégrale :

∫...
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