inteligence

Pages: 12 (2774 mots) Publié le: 12 janvier 2014
Exercices avec solutions sur les séries numériques

Exercices sur les séries numériques
Déterminer la nature des séries numériques suivantes :
I.
1
n2
(n!)2
(n!)2
1
1
b/∑
c/ ∑
d/∑
e/ ∑
f / ∑
∑ n(n + 1)(n + 2)
2
3
n
2
n
(2n)!
n ≥1
n ≥0 n + 1
n ≥0
n ≥ 2 (ln(n))
n ≥ 2 ln(n + n + 1)
n ≥0 2

a/

g/

n2

∑ (n + δ )n

δ <

n ≥0

k /



1
2

h/

1
1(e n − e n +a ) a > 0

1 + 2 + ... + n

∑ 12 + 22 + ... + n 2

i/

n ≥0

l/

n ≥1

1

∑ (1-cos n )

n ≥1

j/

∑ 2-

n

n ≥0

n

∑ (n n + 1 − 1)

n ≥1

II.
Etudier la nature des séries numériques suivantes
dont les termes génraux sont :
n2

−n 2

⎛ 2n + 1 ⎞
⎛ an ⎞
⎛ a⎞
1/ u n = ⎜
⎟ ; 2 /un = ⎜
⎟ a > 0; 3 / u n = ⎜ 1 + ⎟ a réel ;
⎝ 3n + 4 ⎠
⎝ n +1⎠
⎝n⎠
n
a
4 /un =
a > 0;
(1 + a )(1 + a ) 2 ...(1 + a ) n
1
1
1
5 / u n = an ln(1 + ) − b cos( ) + c sin( ) a , b , c réels ;
n
n
n
1
⎡ (−1) n n + k ) ⎤ k réel ;
6 / u n = (−1) n ( n 2 + 1 − n ); 7 / u n = 2

n +1 ⎣
1
π
sin x
sin x
8 /un = ∫ n
dx ; 9 / u n = ∫ n
dx ;
2
0 1 + ch x
0 1+ x 2
n

n

⎛ n ⎞
10 / u n = ⎜
⎜ n +1⎟ ;




11/ u n = (−1) n (tan

⎡ (−1) ⎤13 / u n = ln ⎢1 + a ⎥ a > 0;
n ⎦

n

1
1
− sin
);
n
n

12 /

(−1) n
1
cos ;
n
n

1
n ;
n + (−1) n
n sin

14 / u n = (−1) n

15 / u n = sin ⎡π n 2 + 1 ⎤ ; 16 / u n = cos ⎡π n 2 + n + 1 ⎤ .




16 / u n = ln(n ) + a ln(n + 2) + b ln(n + 3).

III.
+∞

a/

∑u
n =0

n

, un = ∫

( n +1)π



e − x sin xdx (indication : poser t = x − nπ ).

A.El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques

∑u

n

,

∑u

n

,

d/

∑u

n

e/

∑u

b/

n ≥2

c/

n ≥2

1 ⎞

u n = ln ⎜1 − 2 ⎟.
⎝ n ⎠
⎛ (−1) n
u n = ln ⎜1 +
n



⎟.


⎛1

, u n = sin ⎜ + n ⎟π .
⎝n


n

, u n = sin(π n 2 + 1).

(−1) n
.
α n +1
1. Montrer que la série numérique de terme général u n est convergente etque:
f/ Soient α > 0 et la suite numérique u n définie par u n =

∑ un =
n ≥0

1

1

∫ 1 + tα .
0

n

En déduire :

(-1)
∑ n + 1 = ln2,
n ≥0

(-1) n π
∑ 2n + 1 = 4 ,
n ≥0

π
(-1) n 1
∑ 3n + 1 = 3 (ln 2 + 3 ).
n ≥0

Commentaire : Cet exercice a pour objectif d’étudier une série numérique alternée. Grâce à une
expression de sa somme, on retrouve quelques résultatsclassiques

IV.
Séries de Bertrand
Soient α et β deux réels
Le but de cet exercice est d' étudier les séries numériques ∑ u n avec u n =
n≥2

1
.
n (ln(n)) β
α

1+α
.
2
1
Démontrer :
u n = O( γ )
n
En déduire la nature de la série de Bertrand dans ce cas.

1) Etude du cas α > 1. On pose γ =

2) Etude du cas α < 1.
En déduire la nature de série de Bertrand dans ce cas.

3)Etude du cas α = 1.
a) On considére le fonction f β : t

Démontrer :

∃ n0 ∈

1
sur ] 1, + ∞[
t(ln(t)) β
,  f β décroissante sur ] n 0 , + ∞[

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques

b) On suppose β = 1. En comparant avec une intégrale, démontrer que la série de Bertrand diverge.
c) On suppose β > 1. En comparant avec une intégrale, démontrer que la sériede Bertrand converge.
d) Etudier le cas β < 1.
Commentaire : Cet exercice classique traite des séries de Bertrand. Il a l’avantage, d’utiliser diverses
méthodes pour étudier une série numérique (comparaison avec une série numérique, comparaison avec
une intégrale).

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques

Solutions
I.
1
1
1

est convergente (série deRiemann
, la série ∑
3/ 2
3/ 2
n (n + 1)(n + 2) n
n

a / On a u n =
avec α =

3
> 1), on en déduit que la série ∑ u n est convergente (critère d 'équivalence )
2
2

b / Critère de D ' Alembert :

u n +1 ((n + 1)!)2 (2n )! ⎡ (n + 1)!⎤ (2n )!
=
=
(2(n + 1))! (n !) 2 ⎢ n ! ⎥ (2n + 2)!
un



u n +1
1
n +1 1
= lim (n + 1)2
= lim
= < 1,
(2n + 2)(2n + 1) n →+∞ 4n + 2 4
n...
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